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λ-矩阵
若矩阵 A \mathbf{A} A 的元素为关于 λ λ λ 的多项式，则称 A \mathbf{A} A 为 λ λ λ-矩阵 (表示为 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ)).
λ λ λ-矩阵也存在秩、逆、初等变换、相抵的概念, 但是有一些不同.
定义. λ λ λ-矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 秩等于矩阵阶数则称矩阵是满秩的.
定理. λ λ λ-矩阵满秩等价于行列式不为 0 0 0.
定义. λ λ λ-矩阵的初等行变换有3种: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以 ψ ( λ ) \psi(\lambda) ψ(λ) 倍加到另一行，其中 ψ ( λ ) \psi(\lambda) ψ(λ) 是以 λ \lambda λ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.
定义. 若一个 λ λ λ-矩阵可经有限次初等变换得到另一个 λ λ λ-矩阵, 则称两个矩阵相抵.
仿照常数矩阵, 可得如下定理:
定理. 相抵的 λ λ λ-矩阵一定等秩.
但等秩的矩阵不一定相抵.
借助Smith标准形的知识可以得如下定理:
定理. λ λ λ-矩阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数.
定义. 对于 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ), 若存在 λ λ λ-矩阵 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ) 使得 A ( λ ) B ( λ ) = B ( λ ) A ( λ ) = I \bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm B(\lambda)\bm A(\lambda)=\bm I A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I, 则称 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ) 为可逆阵, B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ) 为 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ) 的逆矩阵.
λ λ λ-矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.
仿照常数矩阵, 可得如下定理:
定理. λ λ λ-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.
定理. 对于 n n n 阶 λ λ λ-矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ), 若存在 n n n 阶 λ λ λ-矩阵 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ), 满足 A ( λ ) B ( λ ) = I \bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm{I} A(λ)B(λ)=I/ B ( λ ) A ( λ ) = I \bm B(\lambda) \bm A(\lambda)=\bm{I} B(λ)A(λ)=I, 则 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ) 是可逆的, 其逆矩阵为 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ).
借助Smith标准形的知识可以得如下定理:
定理. λ λ λ-矩阵可逆的充要条件是相抵于单位阵.