DAY44：完全背包问题介绍、518、377

完全背包

定义：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight $i$ ，得到的价值是value $i$ 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

01背包的核心代码

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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

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// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

Leetcode: 518 零钱兑换 II

这道题在看了上述内容之后，结合之前所学的内容，比较简单。

1、dp $i$ 下标含义

选择零钱的组合数

2、递归公式

之前我们写过一道题，求组合数，可以根据 dp $j$ += dp $j - coins\[i$ ];来进行求解。

3、遍历顺序

因为求的是组合数，因此要避免重复的情况，所以对遍历顺序有要求。要外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）。

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class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int>dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];

    }
};

时间复杂度: O(mn）

空间复杂度: O(m)

Leetcode: 377 组合总和 Ⅳ

本题与上题不同，本题求解的是排列数。

递归公式和下标都和上题一样，重点在于遍历顺序上。这时候要先遍历背包重量，再遍历物品。

复制代码

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int>dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int j = 0; j <= target; j++){
            for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
                if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) {
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target];

    }
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp $i$ < INT_MAX - dp $i - num$ 。