备战蓝桥杯---动态规划之背包问题引入

cocoack2024-02-11 21:08

先看一个背包问题的简单版：

如果我们暴力枚举可能会超时。

但我们想一想，我们其实不关心怎么放，我们关心的是放后剩下的体积。

用可行性描述即可。

于是我们令f $i$ $j$ 表示前i个物品能否放满体积为j的背包。

f $i$ $j$ =f $i-1$ $j$ ||f $i-1$ $j-v\[i$ ]; f $0$ $0$ =1;

然后，我们去找jmax并真的值即可。

这是用图表示：

下面是AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v,n,a[40][20005],v1[36];
int main(){
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v1[i]);
    a[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=v;j++){
            if(j>=v1[i]) a[i][j]=a[i-1][j]||a[i-1][j-v1[i]];
            else a[i][j]=a[i-1][j];
        }
    }
    for(int i=v;i>=0;i--){
        if(a[n][i]==1){
            cout<<v-i;
            break;
        }
    }
}

我们用0/1滚动优化一下空间：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v,n,a[2][20005],v1[36];
int main(){
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v1[i]);
    a[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=v;j++){
            if(j>=v1[i]) a[i%2][j]=a[(i-1)%2][j]||a[(i-1)%2][j-v1[i]];
            else a[i%2][j]=a[(i-1)%2][j];
        }
    }
    for(int i=v;i>=0;i--){
        if(a[n%2][i]==1){
            cout<<v-i;
            break;
        }
    }
}

进一步，我们想想因为当前行是上一行v1 $i$ 前体积的继承，换句话说，我们可以从v $i$ 开始枚举，前面的让他继承上一行即可，于是我们可以把数组优化成一维。

但是，这会出现一个问题，我们拿3举例：

当我们在看6时，发现6-3=3为1，于是6也为1，同理，3的倍数的体积全变1，而事实上，我们应该只有3与0为1.

问题在于我们不知道这个真是来自上一行还是这一行刚刚跟新的。

于是，我们可以倒着循环，因为我们发现要跟新依据的都是当前位置前面的，这样，我们这行跟新的只会在后面，这就是就地滚动。

下面是AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v,n,a[20005],v1[36];
int main(){
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v1[i]);
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v;j>=v1[i];j--){
            a[j]=a[j]||a[j-v1[i]];
        }
    }
    for(int i=v;i>=0;i--){
        if(a[i]==1){
            cout<<v-i;
            break;
        }
    }
}