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一. 决策树算法简介
决策树（Decision Tree）用于分类和回归任务。它通过构建树状模型来进行决策。
决策树算法的基本思想是基于数据特征进行递归分裂。每个内部节点代表一个特征上的测试，每个分支代表测试的结果，而每个叶节点代表一个类别（在分类树中）或一个具体的数值（在回归树中）。
决策树算法的优点包括：模型易于理解和解释，不需要对数据进行太多预处理，可以处理数值型和类别型数据。
不过，决策树也有限制，比如容易过拟合，尤其是当树变得很复杂时。为了解决这个问题，通常需要剪枝或者通过集成方法（如随机森林）来提高模型的泛化能力。
二. 决策树构建步骤
- 选择最佳分裂特征 ：通过计算每个特征的信息增益（IG）或基尼不纯度（Gini Impurity），选择最能提高决策树准确度的特征。
- 决定分裂点：根据选定的特征确定最佳分裂点。
- 构建节点：创建决策树的节点，将数据集分裂为子集。
- 递归构建树：对每个子集重复步骤1到3，直到满足停止条件（如达到最大深度、节点中的样本数小于最小分裂样本数等）。
三. 特征说明
3.1 信息增益（Information Gain, IG）
信息增益是决策树算法中用于选择数据集分裂特征的一种方法。它基于熵（entropy），熵是度量数据集纯净度的一个指标，用于度量数据集中的混乱程度。信息增益则是指在知道某特征之后带来的熵的减少（即纯净度的增加）。
在构建决策树时，算法会计算每个特征的信息增益，并选择信息增益最大的特征作为节点分裂的特征。具体来说，信息增益定义为父节点的熵与加权平均后子节点熵的差值。
给定一个数据集(D)，其熵可以表示为：
E n t r o p y ( D ) = − ∑ k = 1 K p k log 2 ( p k ) Entropy(D) = -\sum_{k=1}^{K} p_k \log_2(p_k) Entropy(D)=−k=1∑Kpklog2(pk)
其中，(K)是类别的数量，(p_k)是属于第(k)类的样本所占的比例。信息增益则计算为：
I G ( D , A ) = E n t r o p y ( D ) − ∑ v ∈ V a l u e s ( A ) ∣ D v ∣ ∣ D ∣ E n t r o p y ( D v ) IG(D, A) = Entropy(D) - \sum_{v \in Values(A)} \frac{|D_v|}{|D|} Entropy(D_v) IG(D,A)=Entropy(D)−v∈Values(A)∑∣D∣∣Dv∣Entropy(Dv)
这里，(A)表示一个特征，(Values(A))是该特征所有可能的值，(D_v)是在特征(A)的值为(v)时的子集，而(|D_v|/|D|)则是权重。
3.2 基尼不纯度（Gini Impurity）
基尼不纯度是另一种度量数据集纯净度的方法，常用于CART（Classification and Regression Trees）算法。与熵类似，基尼不纯度衡量的是一个随机选中的样本被错误标记的概率。
基尼不纯度越小，数据集的纯净度越高。对于给定的数据集(D)，其基尼不纯度可以表示为：
G i n i ( D ) = 1 − ∑ k = 1 K p k 2 Gini(D) = 1 - \sum_{k=1}^{K} p_k^2 Gini(D)=1−k=1∑Kpk2
同样地，在构建决策树时，算法会寻找可以最大程度降低基尼不纯度的特征。
在选择最佳分裂特征时，不同的算法可能会偏好信息增益或基尼不纯度。信息增益倾向于选择拥有更多值的特征，而基尼不纯度则是一种更加平衡的选择标准，因为它不倾向于选择那些拥有大量唯一值的特征（如ID或唯一标识符）。
通过使用信息增益或基尼不纯度，决策树算法可以有效地选择出最合适的特征进行分裂，以构建出既能反映数据特征又具有较好泛化能力的模型。
关于更多基尼不纯度的介绍，也可以参考博客园的这篇基尼不纯度简介。
四. 剪枝策略
为了避免过拟合，决策树算法中引入了剪枝策略，包括预剪枝和后剪枝。预剪枝通过提前停止树的构建来防止过拟合；后剪枝则是先构建树，然后删除那些提升模型泛化能力的子树。
Scikit-learn的决策树模型提供了多个参数来控制树的生长，以此来实现预剪枝，但它不直接支持后剪枝操作。
五. 决策树的评估
决策树模型的评估可以通过多种方式进行，如准确率、召回率、F1分数、以及通过交叉验证来评估模型的泛化能力。
六. 代码实践
例1：决策树分类
python
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载iris数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
# 拆分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建决策树分类器实例
dtree = DecisionTreeClassifier(max_depth=3, random_state=42)
# 在训练集上训练决策树分类器
dtree.fit(X_train, y_train)
# 对测试集进行预测
predictions = dtree.predict(X_test)
# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, predictions)
print(f'决策树分类器的准确率: {accuracy}')例2：决策树回归
python
from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
"""
使用加利福尼亚州房价数据集来代替经典的Boston房价数据集.
load_boston函数已经从scikit-learn 1.2版本开始被移除了，原因是Boston房价数据集存在道德问题。
该数据集的创建者在变量"B"的设计中假设种族自我隔离对房价有正面影响，这一假设及其研究目的受到了质疑。
"""
# 加载加利福尼亚州房价数据集
housing = fetch_california_housing()
X = housing.data
y = housing.target
# 拆分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建决策树回归器实例
dtree_reg = DecisionTreeRegressor(max_depth=3, random_state=42)
# 在训练集上训练决策树回归器
dtree_reg.fit(X_train, y_train)
# 对测试集进行预测
predictions = dtree_reg.predict(X_test)
# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, predictions)
print(f'决策树回归器的均方误差: {mse}')通过调整决策树的参数（如max_depth）和应用剪枝策略，可以有效地控制模型的复杂度，从而改善模型的性能和泛化能力。
补充：可视化
当然，我们还可以进一步对结果进行可视化：
- 通过
matplotlib绘制实际值和预测价格的偏差； - 通过
plot_tree进行决策树的可视化、
python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import plot_tree
python
# 可视化预测结果与实际值
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(y_test, predictions, alpha=0.5, label='Predictions')
plt.plot([min(y_test), max(y_test)], [min(y_test), max(y_test)], 'k--', lw=2, label='Perfect Prediction')
plt.xlabel('Actual')
plt.ylabel('Predicted')
plt.title('Decision Tree Regressor Predictions vs Actual')
plt.legend()
plt.show()
# 使用plot_tree进行决策树可视化
plt.figure(figsize=(20,10))
plot_tree(dtree_reg,
feature_names=housing.feature_names,
filled=True,
rounded=True,
max_depth=3) # 限制树的深度为3，使图更简洁
plt.show()运行后第一幅图的效果如下，其中黑色虚线表示预测值和实际值相等的完美预测线。
我们使用plot_tree可视化的决策树如下：
在这个决策树上，我们可以看到：
- 每个节点的决策条件（例如，某个特征的值是否小于某个阈值）。
- 每个节点的不纯度（对于回归树，通常是MSE；对于分类树，可能是基尼不纯度或熵）。
- 每个节点包含的样本数。
- 每个节点的值（对于回归树，是节点中所有样本目标值的平均值；对于分类树，是每个类别的样本数）。
- 叶节点的输出值。
我们解释一下其中一个节点（第二行左侧）：
- MedInc <= 3.074: 这是一个分裂条件，表示特征"MedInc"（中位收入）小于等于3.074的样本将被分配到左侧的子节点。
- squared_error = 0.834: 这是节点内样本的均方误差，一个评估模型在该节点上表现的指标。它衡量的是模型的预测值与实际值之间差异的平方的平均值。
- samples = 13101: 表示在该节点处有13101个样本。
- value = 1.74: 对于回归决策树，这通常表示该节点样本目标值的平均值。
通过这种方式可以了解模型的决策过程，包括哪些特征对模型的预测结果有显著影响，以及这些特征是如何影响模型做出最终决策的。
例3：剪枝策略
我们只需要调整sklearn的DecisionTreeRegressor的参数即可进行一个预剪枝的操作。
python
from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import plot_tree
# 加载加利福尼亚州房价数据集
housing = fetch_california_housing()
X = housing.data
y = housing.target
# 拆分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建决策树回归器实例，应用预剪枝策略
# 限制树的最大深度为3
# 设置节点在分裂前必须拥有的最小样本数为10
# 设置分裂节点时所需的最小增益为0.01
dtree_reg = DecisionTreeRegressor(max_depth=3, min_samples_split=10, min_impurity_decrease=0.01, random_state=42)
# 在训练集上训练决策树回归器
dtree_reg.fit(X_train, y_train)
# 对测试集进行预测
predictions = dtree_reg.predict(X_test)
# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, predictions)
print(f'决策树回归器的均方误差: {mse}')
# 可视化决策树
plt.figure(figsize=(20, 10))
plot_tree(dtree_reg, feature_names=housing.feature_names, filled=True, rounded=True, max_depth=3)
plt.show()可视化结果如下：
通常在预剪枝中，可能是因为该节点不满足分裂条件（例如，它的信息增益小于设定的阈值，或者样本数量少于最小分裂样本数等），我们可以发现，在相比原本的实现，这时候的右下角的决策树少了两个节点。