动态规划10-完全背包理论(一维数组/二维数组/Java)

10.完全背包理论基础

题目描述

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight $i$ ，得到的价值是value $i$ 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

题目分析

具体来说，给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，以及一个容量为C的背包，问题是如何选择物品放入背包，使得放入背包的物品的总重量不超过背包的容量，并且总价值最大。

与 0/1 背包问题不同的是，完全背包问题中每个物品可以选取多次，即每个物品的数量是无限的。

动态规划五部曲

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1.创建二维dp数组：dp[i][j]：表示背包容量为j时选择物品item[0-i]时的最大价值

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2.递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i])
    
-不选择第 i 个物品：即使背包的容量不变，仍然为 j，此时最大价值与前 i-1 个物品的最大价值相同，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
-选择第 i 个物品：此时背包的容量减少了weight[i]，变为 j-weight[i]，所以最大价值应该是前 i 个物品在背包容量为 j-weight[i] 时的最大价值，加上选择了第i个物品的价值 vi，即dp[i][j] = dp[i][j-weight[i]]+value[i]。

由于完全背包问题允许物品的重复选择，所以在第二种情况下，我们依然考虑的是前 i 个物品，而不是前 i-1 个物品。

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3.如何初始化：
当i=0时，dp[0][j]表示只可以放入物品0
当weight[0] < j时表示可以放入物品0，由上述递推公式可知
dp[0][j] = dp[i][j-weight[i]] + value[i]

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4.先遍历物品再遍历背包
5.打印dp数组

Java代码实现

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int[][] dp = new int[item.length][bagweight + 1];
for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
	if (j >= weight[0]) {
		dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
	}
}

for (int i = 1; i < item.length; i++) {
	for (int j = 1; j <= bagweight; j++) {
		if (j >= weight[i]) {
			dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
		} else {
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	}
}

return dp[item.length - 1][badweight];

区分0-1背包与完全背包

由于完全背包问题允许物品的重复选择，我们依然考虑的是前 i 个物品，而不是前 i-1 个物品。

对于0-1背包，由于每个物品不可以重复，因而选取上一个行即i-1

完全背包降阶处理

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int[] dp = new int[bagweight + 1];
for (int i = 0; i < item.length; i++) {
	for (int j = 1; j <= bagweight; j++) {
		if (j >= weight[i]) {
			dp[i] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
		} 
	}
}
return dp[badweight];