P3385 【模板】负环
题目描述
给定一个 n 个点的有向图，请求出图中是否存在从顶点 11 出发能到达的负环。
负环的定义是：一条边权之和为负数的回路。
输入格式
本题单测试点有多组测试数据。
输入的第一行是一个整数 T，表示测试数据的组数。对于每组数据的格式如下：
第一行有两个整数，分别表示图的点数 n 和接下来给出边信息的条数 m。
接下来 m 行，每行三个整数 u,v,w。
- 若 w≥0，则表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边，还存在一条从 v 至 u 边权为 w 的边。
- 若 w<0，则只表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个字符串，若所求负环存在，则输出 YES，否则输出 NO。
输入输出样例
输入 #1复制
2
3 4
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 -3
3 3
1 2 3
2 3 4
3 1 -8输出 #1复制
NO
YES说明/提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证：
- 1≤n≤2×103，1≤m≤3×103。
- 1≤u,v≤n，−−104≤w≤104。
- 1≤T≤10。
提示
请注意，m 不是图的边数。
对于存在负环的问题，我们通常使用bellman或者spfa算法（bellman的队列优化）判断有无负环
bellman解决思路：
Bellman-Ford 算法通过不断迭代计算最短路，每轮迭代至少有一个结点得到了最短路。所以，若图中没有负环，则最多经过 n−1 轮迭代后算法结束。若第 n 轮迭代仍有结点的最短路能被更新，则图中有负环。复杂度为O(nm)。
bellman代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2000005
int t, n, m, ans=0, num, sum;
bool vis[N];
int dis[N];
struct node {
int head, to, tail;
}f[N]; //结构体数组存边
void add(int a, int b, int c) //这里需要判断边的正负，正负情况不同
{
if (c >= 0)
{
f[++ans] = { a,b,c }; //注意这里没有使用链式前向星或者邻接表，就是单纯的存边
f[++ans] = { b,a,c };
}
if (c < 0)
{
f[++ans] = { a,b,c };
}
}
bool bellman() //bellman核心代码段
{
dis[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) //初始化dis数组为无穷大
dis[i] = 0x3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { //只最多需要n-1次，这里可以优化
for (int j = 1; j <= ans; j++) {
int w = f[j].head, v = f[j].to; //这里一定要加上对dis的特判，因为测试点中
if (dis[v] > dis[w] + f[j].tail&&dis[w]!=0x3f3f3f) { //有非联通图
dis[v] = dis[w] + f[j].tail;
}
}
}
for (int k = 1; k <= ans; k++) { //第n次更新，如果dis还在更新边，存在负环
if (dis[f[k].head] == 0x3f3f3f || dis[f[k].to] == 0x3f3f3f)
continue;
if (dis[f[k].to] > dis[f[k].head] + f[k].tail)
return true;
}
return false;
}
int main()
{
cin >> t;
while (t--) {
memset(f, 0, sizeof(f)); //这里有多组数据，要清空
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
if (bellman()) //判断条件
cout << "YES" << endl;
else
cout << "NO" << endl;
}
return 0;
}spfa解决思路：
spfa和bfs过程很相似，在spfa过程中一个点可以多次入队，更新距离，但是到某个点所更新的边最多有n-1个，即最坏的情况是一条直线，但如果更新的边的数量>=n，那么就说明存在负环，我们可以用一个数组ans，来存储到某个点所需要更新的边的数量，ans[1]=0，每次松弛时，我们使ans[y]=ans[x]+1;
spfa代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
int head[N], dis[N], ans[N]; //前面都是老伙计了，就不多介绍了
int t, n, m, cnt=1 , sum;
bool vis[N];
struct node {
int to, tail, nx;
}f[N];
void add(int a, int b, int c) //链式前向星存边
{
f[cnt].to = b;
f[cnt].tail = c;
f[cnt].nx = head[a];
head[a] = cnt++;
}
bool spfa()
{
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)); //每次调用都有重新初始化
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(ans, 0, sizeof(ans));
queue<int>q; //在函数体内定义，相当于每次进行清空
q.push(1);
dis[1] = 0;
vis[1] = 1; //这里出队后要回复vis，因为可能多次入队
while (!q.empty()) {
int x = q.front();
q.pop();
vis[x] = 0;
for (int i = head[x]; i; i = f[i].nx) { //这里应该比较熟悉吧，就是松弛操作
int h = f[i].to;
if (dis[h] > dis[x] + f[i].tail) {
dis[h] = dis[x] + f[i].tail;
ans[h] = ans[x] + 1; //关键步骤，记录更新边的次数
if (ans[h] >= n) //存在负环
return true;
if (!vis[h]) { //不在队列中，入队
q.push(h);
vis[h] = 1;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
cin >> t;
while (t--) {
cin >> n >> m;
cnt = 1; //注意对于不同操作的链式前向星，cnt的初始化值不同，我这里是1
memset(head, 0, sizeof(head)); //清空操作，多组数据
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
if (c >= 0) //特殊条件
add(b, a, c);
}
if (spfa())
cout << "YES" << endl;
else
cout << "NO" << endl;
}
return 0;
}以上两种算法可以判断是否存在负环，根据需要合理的选择适合的算法。