第?个质数（埃氏筛算法）

题目：

给定一个质数，求出这个质数是第几个质数。

输入格式:

第一行一个正整数n（1≤n≤105），

接下来n行，每行一个质数p（2≤p≤107）。

输出格式:

输出n行，每行输出一个正整数。

输入样例:

输出样例:

所用算法详解：

埃氏筛（Eratosthenes筛法）详解

算法原理

埃氏筛是一种高效找出一定范围内所有质数的算法。它的核心思想是：

质数的倍数一定不是质数（除了质数本身）。

算法步骤

假设我们想找出 1 到 N 之间的所有质数
先假设所有数都是质数（标记为1）
从2开始：

如果当前数是质数，它的倍数（2倍、3倍...）都不是质数，将它们标记为非质数
重复这个过程直到 N

AC代码

c 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

const int MAXN = 10000000;
int is_prime[MAXN + 10] = {0};  // 0表示未处理，正数表示质数序号，-1表示合数
int n;

void init() {
    int cnt = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        if (is_prime[i] == 0) {  // i是质数
            is_prime[i] = cnt;    // 记录这是第cnt个质数
            cnt++;
            // 从 i*i 开始标记合数
            for (int j = i; j <= MAXN / i; j++) {
                is_prime[i * j] = -1;  // 标记为合数
            }
        }
    }
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    init();
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int p;
        cin >> p;
        cout << is_prime[p];
        if (i != n) cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

代码逐行讲解

c 复制代码

int is_prime[MAXN + 10] = {0};  // 0表示未处理，正数表示质数序号，-1表示合数

void init() { 
    int cnt = 1;  // 质数计数器
    
    // 从2开始遍历
    for (int i = 2; i <= MAXN; ++i) { 
        if (is_prime[i] == 0) {  // 如果i是质数（未被处理）
            is_prime[i] = cnt;    // 记录这是第cnt个质数
            cnt++;                // 计数器加1
            
            // 从 i*i 开始标记i的所有倍数为合数
            for (int j = i; j <= MAXN / i; j++) { 
                is_prime[i * j] = -1;  // 标记为合数
            } 
        } 
    } 
}

运行过程示例

假设我们要找前几个质数（以10为例）：

初始状态：

c 复制代码

数字: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
标记: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  (1表示质数)

处理 i=2：

2是质数 → 标记为第1个质数
删除2的倍数：4、6、8、10标记为0

c 复制代码

数字: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
标记: 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0

处理 i=3：

3是质数 → 标记为第2个质数
删除3的倍数：6、9标记为0

c 复制代码

数字: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
标记: 0 1 2 0 1 0 1 0 0 0

处理 i=4 ：已经被标记为0，跳过
处理 i=5：5是质数 → 标记为第3个质数

c 复制代码

数字: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
标记: 0 1 2 0 3 0 1 0 0 0

以此类推...

为什么这样高效？

时间复杂度：O(n log log n)，接近线性
避免了每个数都要做质数判断的重复计算
一次计算，多次查询（适合本题需要处理多个质数查询）

针对本题的优化

本题中：

需要查询 n 个质数的序号
质数范围是 2 ≤ p ≤ 10^7
用埃氏筛可以一次性计算出所有质数及其序号

代码执行流程

init() 预处理：计算出所有质数的序号
对于每个输入的质数 x
直接输出 is_prime[x] 即可得到它的序号

比如输入5，is_prime[5] = 3，直接输出3。

这种方法的优点是：

预处理：只需要一次计算
查询：O(1) 时间复杂度
空间换时间：用数组存储结果