算法——图论——最短路径——Floyd / 传递闭包

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Floyd-Warshall（弗洛伊德）算法

传递闭包

[一、试题 算法训练 盾神与离散老师2](#一、试题 算法训练 盾神与离散老师2)

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Floyd-Warshall（弗洛伊德）算法

• 求所有顶点到所有顶点的最短路径问题
• 弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）是一种用于寻找图中所有顶点对之间最短路径的动态规划算法。
• 该算法可以处理带有负权边但不含负权环的加权有向图或无向图。
• 弗洛伊德算法的核心思想是利用三重循环遍历所有顶点，逐步更新每对顶点之间的最短路径的信息。

弗洛伊德算法的示例代码：

import java.util.Arrays;

public class FloydWarshall {

    public static void main(String[] args) {
        int INF = 99999; // 表示无穷大
        int[][] graph = {
            {0, 5, INF, 10},
            {INF, 0, 3, INF},
            {INF, INF, 0, 1},
            {INF, INF, INF, 0}
        };

        floydWarshall(graph);
    }

    public static void floydWarshall(int[][] graph) {
        int V = graph.length;
        int[][] dist = new int[V][V];

        // 初始化距离矩阵为图的邻接矩阵
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                dist[i][j] = graph[i][j];
            }
        }

        // 迭代更新距离矩阵
        for (int k = 0; k < V; k++) {
            for (int i = 0; i < V; i++) {
                for (int j = 0; j < V; j++) {
                    if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    }
                }
            }
        }

        // 打印最短路径距离
        printSolution(dist);
    }

    public static void printSolution(int[][] dist) {
        int V = dist.length;
        System.out.println("距离矩阵：");
        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            for (int j = 0; j < V; ++j) {
                if (dist[i][j] == 99999) {
                    System.out.print("INF ");
                } else {
                    System.out.print(dist[i][j] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

传递闭包

• 给定一个集合，以及若干对元素之间的传递关系，传递闭包问题是求所有元素之间的传递（连通）关系。
• 例如，包括3个元素的集合{a,b,c}，给定传递关系a-->b, b-->c，那么可推导出a-->c
• 用Floyd算法解决传递闭包问题
• 可用bitset优化复杂度

传递闭包的示例代码：

    // 使用Floyd算法计算最短路径
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    // 如果经过节点k可以从节点i到达节点j，则更新传递闭包矩阵
                    if (matrix[i][k] == 1 && matrix[k][j] == 1) {
                        matrix[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }

一、试题 算法训练 盾神与离散老师2

问题描述

　　有一天，盾神觉得自己离散课快要挂了，于是亲自找到离散老师WH，请教如何才能不挂科。WH老师说，只要你做出下面那题，你就可以不挂了！但是盾神不会做T_T只能请教你了。

　　有N个人，i和j可能认识，可能不认识。i一定认识i。如果i认识j，j不一定认识i。但是如果i认识j，j认识k，i必定认识k。给出目前掌握的N个人互相的认识关系，求用已知的关系推断出来的N个人互相的人事关系。
输入格式

　　输入第一行为一个数N。

　　接下来是一个N*N的矩阵，第i行第j个数是1的话表示i认识j，0的话表示i不一定认识j。不会出现除0和1之外的其他数。数与数之间用一个空格隔开。第i行第i列不一定是1。
输出格式

　　输出一个N*N的矩阵，第i行第j列的意思如输入。数与数之间用一个空格隔开。第i行第i列必须是1。
样例输入

　　3

　　0 1 0

　　0 0 1

　　0 0 0
样例输出

　　1 1 1

　　0 1 1

　　0 0 1
数据规模和约定

　　N<=500
分析：

• 使用Floyd算法解决，套用代码即可
• 一个三重for循环

package no1_1;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        int n = scanner.nextInt();
        int[][] matrix = new int[n+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanner.nextLine();
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                matrix[i][j] = scanner.nextInt();
                if(i == j) {//自己一定认识自己
                    matrix[i][j] = 1;
                }
            }
        }

        // 使用多重循环直接更新矩阵中的间接关系
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    if (matrix[i][j] == 0 && matrix[i][k] == 1 && matrix[k][j] == 1) {
                        matrix[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        //打印矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                System.out.print(matrix[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}