概率分析：为什么葫芦娃救爷爷是一个一个地救成功率最高？

关键词： Python 、葫芦娃、概率计算、数学、建模

前言

过完年了返工后想起了小孩子们爱看的葫芦娃救爷爷的动画片，葫芦娃为什么是一个一个前去救爷爷，为什么不等着七个一起去救爷爷。带着这个疑问，我决定今天用数学的角度建模计算下哪种方式救爷爷成功率最高？

情节回顾

故事开始时，爷爷被蛇精抓走，大娃（力大无穷）决定去救爷爷，但由于他轻敌，被蛇精骗入陷阱。接着，二娃（千里眼顺风耳）、三娃（铜头铁臂）、四娃（喷火）、五娃（喷水）、六娃（隐身）都分别去救爷爷，但都因为各自的弱点而失败。但最终七个葫芦娃在一起联手击败了蛇精。

建模

这里我们进行精简情节回顾的逻辑并给出关键信息：

七个葫芦娃联手是100%击败蛇精；
单个葫芦娃击败蛇精的概率是1/7；
爷爷在第七天必死；
爷爷在每天死的概率是1/7；

这里我们可以得到葫芦娃营救爷爷的成功的条件为：爷爷没死 + 葫芦娃击败蛇精 。在这里可以设置一个长度为6的数组（因为第七天七个葫芦娃会联手）对葫芦娃进行数据组合计算营救爷爷成功的概率,经过计算共有132种营救方式 ，其中成功概率最高的救是一个一个前去营救爷爷，在数组中表示为： $1,1,1,1,1,1$ ；其概率为0.3965694566039661

python实现

shell 复制代码

def build_strategy(idx, sum_val, cur):
    global res
    if idx == N and sum_val == N:
        res.append(cur.copy())
        return

    if idx >= N:
        return

    for i in range(idx + 1, -1, -1):
        if sum_val + i <= idx + 1:
            tmp = cur.copy()
            tmp.append(i)
            build_strategy(idx + 1, sum_val + i, tmp)

def all_strategies(n):
    global N, res
    N = n
    res = []

    build_strategy(0, 0, [])

    return res

def calc_probability(strategy):
    prob = 0.0
    try_cnt = 0
    succ_prob = 1.0 / (N + 1)

    for i in range(len(strategy)):
        live_grandpa_prob = (N - i) * 1.0 / N
        save_prob = strategy[i] * succ_prob

        prob += (1 - succ_prob) ** try_cnt * live_grandpa_prob * save_prob

        try_cnt += strategy[i]

    return prob

N = 6
Strategy_list = []
probability_list = []

result = all_strategies(N)  # Get the list of strategies using the all_strategies function
for strategy in result:
    probability = calc_probability(strategy)
    Strategy_list.append(strategy)
    probability_list.append(probability)

    print(f"Strategy: {strategy}, Probability: {probability}")

max_probability = max(probability_list)
print(max_probability)