62.不同路径
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
python
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
dp=[[0]*n for _ in range(m)]#用来存储唯一路径数
#设置第一行和第一列的基本情况
for i in range(m):
dp[i][0]=1
for j in range(n):
dp[0][j]=1
#计算每个单元格的唯一路径数
for i in range(1,m):
for j in range(1,n):
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
return dp[m-1][n-1]63.不同路径2
其实只要考虑到，遇到障碍dp[i][j]保持0就可以了。
python
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
m=len(obstacleGrid)#行数
n=len(obstacleGrid[0])
if obstacleGrid[m-1][n-1]==1 or obstacleGrid[0][0]==1:#起点和终点有障碍物直接返回
return 0
dp=[[0]*n for _ in range(m)]
for i in range(m):
if obstacleGrid[i][0]==0:#遇到障碍物时，直接退出循环，后面默认都是0
dp[i][0]=1
else:
break
for j in range(n):
if obstacleGrid[0][j]==0:
dp[0][j]=1
else:
break
for i in range(1,m):
for j in range(1,n):
if obstacleGrid[i][j]==1:
continue
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
return dp[m-1][n-1]343.整数拆分
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
至于 "拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的"
python
class Solution:
# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
def integerBreak(self, n):
dp = [0] * (n + 1) # 创建一个大小为n+1的数组来存储计算结果
dp[2] = 1 # 初始化dp[2]为1，因为当n=2时，只有一个切割方式1+1=2，乘积为1
# 从3开始计算，直到n
for i in range(3, n + 1):
# 遍历所有可能的切割点
for j in range(1, i // 2 + 1):
# 计算切割点j和剩余部分(i-j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)
return dp[n] # 返回最终的计算结果96.不同的二叉搜索树
来看看n为3的时候，有哪几种情况。
当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊！
当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊！
当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊！
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
左子树肯定时比根少一，右子树是要求的减去根，就是比他大的
python
class Solution:
def numTrees(self, n: int) -> int:
dp=[0]*(n+1)
dp[0]=1#当n为0时，只有一种情况
for i in range(1,n+1):
for j in range(1,i+1):
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]#以j为头节点的左子树和以j为头节点的右子树
return dp[n]