前缀和算法

一、简析前缀和

有一系列元素 A a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . Aa_0,\~a_1,\~...,\~a_n,\~... Aa0, a1, ..., an, ...，前缀和 p r e _ s u m n = A 0 + A 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n pre\_sumn=A0+A1+···+An pre_sumn=A0+A1+⋅⋅⋅+An。

利用前缀和，我们可以很高效地得到 L , R L,\~R L, R 的区间和 ∑ i = L R A i = p r e _ s u m R − p r e _ s u m L − 1 \sum_{i=L}^{R}Ai=pre\_sumR-pre\_sumL-1 ∑i=LRAi=pre_sumR−pre_sumL−1。

---

二、相关问题

2.1 题目简述

P8649 蓝桥杯 2017 省 B k 倍区间

2.2 算法简析

设 p n = A 0 + A 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n pn = A0+A1+···+An pn=A0+A1+⋅⋅⋅+An，则 L, R 的区间和为 p R − p L − 1 pR-pL-1 pR−pL−1。题目要求区间和为 K K K 的倍数，则 ( p R − p L − 1 ) ∣ K (pR-pL-1)~|~K (pR−pL−1) ∣ K，即 ( p R − p L − 1 ) ≡ 0 ( mod K ) (pR-pL-1)\equiv 0~(\text{mod}~K) (pR−pL−1)≡0 (mod K)。由模运算率， p R ≡ p L − 1 ( mod K ) pR\equiv pL-1~(\text{mod}~K) pR≡pL−1 (mod K)。满足该条件，就是满足"K倍区间"。

我们可以统计，在模 K K K 的条件下，前缀和同余的个数。例， c n t j cntj cntj 表示前缀和模 K K K 的余数为 j j j 的个数，则满足"K倍区间"的个数为 C c n t j 2 C_{cntj}^2 Ccntj2。

需要注意的是，余数为 0 0 0 是一个特殊情况。因为题目允许区间只有一个元素，所以单独一个元素也是满足要求的（说明该元素是 K K K 的倍数）。假设余数为 0 0 0 的个数为 x x x，则满足题目要求的个数为

C x 2 + x = x ( x − 1 ) 2 + x = ( x + 1 ) x 2 = C x + 1 2 \begin{split} C_x^2+x&=\frac{x(x-1)}{2}+x \\ &=\frac{(x+1)x}{2} \\ &=C_{x+1}^2 \end{split} Cx2+x=2x(x−1)+x=2(x+1)x=Cx+12

所以统计余数为 0 0 0 的情况时，要初始化为 1 1 1。

2.3 本题代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e5 + 5;

ll N, K, A[MAX], cnt[MAX];

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	N = quickin(), K = quickin();
	int tmp = 0;
	cnt[0] = 1;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		A[i] = quickin();
		tmp = (tmp + A[i]) % K;
		cnt[tmp]++;
	}
	
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i < K; i++)
	{
		if (cnt[i] > 0)
			ans += cnt[i] * (cnt[i] - 1) / 2;
	}
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;	
} 

---

完