数学建模——灰色预测模型

前言

本文将通过具体案例讲解灰色预测模型中的GM(1,1)预测模型。

灰色预测的核心体系是灰色模型（Grey Model,GM）,即对原始数据作累加生成（或其他方法生成）得到的近似的指数规律再建模的方法。

GM(1,1)表示模型是一阶微分方程，且只含一个变量的灰色模型。

优点： 不需要很多数据，一般只需要4个数据，就能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题；

能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度高；

能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，不考虑分布规律，不 考虑变化趋势。

缺点： 只适用于中短期的预测；只适合指数增长的预测。

正文

问题：

北方某城市1986------1992年道路交通噪声平均声级数据见下表：

试预测出该城市1993年的道路交通噪声平均声级。

求解：

1、数据的检验与处理

为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据进行必要的检验处理。我们设参考数列为：

对应在这题中也就是：

然后根据数列计算序列的级比，公式为：

如果级比属于范围：

则说明参考数列可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则就要对数列作必要的变换处理，使其属于范围内，即取适当常数c作平移变换：

，

使新数列y0(k)的级比有：

对应的代码为：

clc,clear
x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'    %注意这里为列向量
n=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)
range=minmax(lamda')
if range(1)>exp(-2/(n+1)) & range(2)<exp(2/(n+1))
    disp('通过级比检验!');
else
     disp('未通过级比检验!');
end

2、建立模型

然后对参考数列进行一次累加，得到新数列：

对应在这题上即：

然后构造数据矩阵B和数据向量Y，我们设确定参数α为0.5，可得到：

根据B和Y得出u，

灰微分方程对应的白化微分方程为：

求解这个方程，得：

将k代入得出预测的指数增长的数列，然后作差分运算还原数据。

该模块对应的代码为：

x1=cumsum(x0)
B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];
Y=x0(2:n);
u=B\Y
syms x(t)
x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));
xt=vpa(x,6);
yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);    %将k代入，这里k为0到n-1
yuce1=double(yuce1)
yuce=[x0(1),diff(yuce1)]

3、检测预测值

这里有两个数据可以用来检测，分别是：相对误差检验 和级比偏差值检验。

在这之前再说一下残差，残差是由参考数列-预测数列得到的，公式为：

相对误差公式为：

如果所有的相对误差都小于0.2则认为达到一般要求；如果所有的相对误差都小于0.1则认为达到较高的要求。

级比偏差值检验的公式为：

如果所有的级比偏差值检验的绝对值都小于0.2则认为达到一般要求；如果所有的级比偏差值检验的绝对值都小于0.1则认为达到较高的要求。

这两个值有一个达到要求即可。

对应的代码为：

epsilon=x0'-yuce   %计算残差
delta=abs(epsilon./x0')    %计算相对误差
rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda'    %计算级比偏差值
delta_max=max(delta)    %计算相对误差的最大值
rho_abs_max=max(abs(rho))    %计算级比偏差值的绝对值的最大值

运行结果为：

可以看到这两个值都小于0.1，所以认为达到较高的要求。

预测预报

只需要在k代入时候多往后面代入几个值就可以完成预测任务了，我们要求出要求出1993年的数据，所以k往后多代入一个值就可以了，代码为：

yuce2=subs(x,t,[0:n]);    %将k代入
yuce2=double(yuce2);
yuce_final=[x0(1),diff(yuce2)]

求出：

所以，该城市1993年的道路交通噪声平均声级为71.3946。

结语

本文内含笔者自己的理解，如有错误，敬请斧正。