P1450 [HAOI2008] 硬币购物 dp 容斥 —— s - c[i]*(d[i]+1)怎么理解

HAOI2008 硬币购物 - 洛谷

看了洛谷许多题解，一开始理解不了为什么是 s - ci*(di+1)，为什么要+1呢？

其实是dp理解的不好。

这里的意思就是该枚硬币先超过限制，接下来剩下的背包也要填满，4种硬币随便组合的情况数。

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首先这些题解是假设4种硬币都无限的完全背包。

（dp i ，i指的钱数，dp值是情况数。）

然后我们思考，这四种硬币是组合的，也就是第一种的所有情况上加第二种的所有情况...

也就是dps已经是四种硬币的组合的情况数了。

容斥定理会吧？（其实证明我也不会，这个大学离散数学里有，但是证明比较奇怪，我没有看懂）

因为四种硬币的数量并不是无限，所以我们上面的dp要减去不合理的。

1,2,3,4可能单独不合理，也可能若干个同时不合理，所以要用容斥定理来计算。（避免重复）

即减去1,2,3,4不合理的，加上12,13,14,23,24,34两个不合理的，减去3个不合理的，加上4个不合理的。

然后就是不合理的数目的计算了，是s - (di + 1) * c i

是的，我们正常只能对第i个组合到价值di * ci，但是这里是dp，接下来仍可能接着有ci。

所以我们计算不合理的，从不合理的开始 开始计算。

也就是我们取d i + 1开始，在dp中接下来会取该硬币若干或者不取，所以从这里开始，这个算1种，接下来仍要填满背包，所以剩下的硬币随便组合，我们算的就是剩下硬币的组合数 ------ dp s - (d\[i + 1) * c i ]。

代码：

int c[5];
int d[5];
int s;
int getw(int aim)
{
	return c[aim] * (d[aim]+1);
}

void solve()
{
	for (int i = 1; i <= 4; i++)
	{
		cin >> c[i];
	}
	int n;
	cin >> n;
	vector<int>dp(100005);
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 4; i++)
	{
		for (int j = c[i]; j <= 100000; j++)
		{
			dp[j] += dp[j - c[i]];
		}
	}


	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= 4; j++)
		{
			cin >> d[j];
		}
		cin >> s;
		int ans = dp[s];

		for (int i = 1; i < 16; i++)
		{
			int tmp = 0;
			int cnt = 0;//奇数减，偶数加，容斥
			if (i & 1)
			{
				tmp += getw(1); cnt++;
			}
			if (i & 2)
			{
				tmp += getw(2); cnt++;
			}
			if (i & 4)
			{
				tmp += getw(3); cnt++;
			}
			if (i & 8)
			{
				tmp += getw(4); cnt++;
			}
			if (tmp > s)continue;
			
			if (cnt % 2 == 0)
				ans += dp[s - tmp];
			else
				ans -= dp[s - tmp];
		}
		cout << ans << endl;
	}

}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t = 1;
	//cin >> t;
	while (t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}