题目
- 给定一个长度为 n 的整数数组 height 。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i]) 。
- 找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。
- 返回容器可以储存的最大水量。
- 说明：你不能倾斜容器。
示例
-
示例一
输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。 -
示例二
输入：height = [1,1]
输出：1
提示
- n == height.length
- 2 <= n <= 1 0 5 10^5 105
- 0 <= height[i] <= 1 0 4 10^4 104
思路及算法代码
说明
本题是一道经典的面试题，最优的做法是使用「双指针」。
分析
我们先从示例开始分析，一步步地解释双指针算法的过程。
题目中的示例为：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为 min(1,7)∗8=8。
此时我们需要移动一个指针。移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。这是因为，由于容纳的水量是由两个指针指向的数字中较小值∗指针之间的距离决定的。如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。因此，我们移动 数字较小的那个指针。
所以，我们将左指针向右移动：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为 min(8,7)∗7=49。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为 min(8,3)∗6=18。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为 min(8,8)∗5=40。两指针对应的数字相同，我们可以任意移动一个，例如左指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为 min(6,8)∗4=24。由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针重合。在这期间，对应的可以容纳的水量为：min(2,8)∗3=6，min(5,8)∗2=10，min(4,8)∗1=4。
在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为 49，即为最终的答案。
代码
python
class Solution:
def maxArea(self, height: List[int]) -> int:
# 初始化两个指针，一个指向列表开头，另一个指向列表末尾。
l, r = 0, len(height) - 1
# 初始化变量以存储最大面积。
ans = 0
# 循环直到两个指针相遇。
while l < r:
# 计算两个指针之间的面积。
area = min(height[l], height[r]) * (r - l)
# 更新最大面积。
ans = max(ans, area)
# 将指向较小高度的指针向另一个指针移动。
if height[l] <= height[r]:
l += 1
else:
r -= 1
# 返回找到的最大面积。
return ans复杂复分析
- 时间复杂度：
O(N)，双指针总计最多遍历整个数组一次。 - 空间复杂度：
O(1)，只需要额外的常数级别的空间。
知识点
- 双指针代表了什么？
双指针代表的是可以作为容器边界的所有位置的范围 。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界 ，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。 - 为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？
- 在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。
- 考虑第一步 ，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 x 和
y，不失一般性，我们假设x≤y。同时，两个指针之间的距离为t。那么，它们组成的容器的容量为：min(x,y)∗t=x∗t。我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 x∗t 了 。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步 ，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。 - 我们任意向左移动右指针，指向的数为 y 1 y_1 y1 ，两个指针之间的距离为 t 1 t_1 t1 ，那么显然有 t 1 t_1 t1 < t，并且 min(x, y 1 y_1 y1)≤min(x,y):
- 如果 y 1 y_1 y1 ≤ y，那么 min(x, y 1 y_1 y1) ≤ min(x,y);
- 如果 y 1 y_1 y1 > y，那么 min(x, y 1 y_1 y1) > min(x,y);
- 因此有：min(x, y t y_t yt)∗ t 1 t_1 t1<min(x,y)∗t
- 即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了 ，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。
- 这样以来，我们将问题的规模减小了 1，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界 ，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：
- 求出当前双指针对应的容器的容量；
- 对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。
- 最后的答案是什么？
答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。