图论(二)之最短路问题

最短路

Dijkstra求最短路

文章目录

栗题

https://www.acwing.com/problem/content/851/

https://www.acwing.com/problem/content/852/

思想

迪杰斯特拉算法采用的是一种贪心的策略。

求源点到其余各点的最短距离步骤如下:

  1. 用一个 dist 数组保存源点到其余各个节点的距离,dist[i] 表示源点到节点 i 的距离。初始时,dist 数组的各个元素为无穷大。
    用一个状态数组 state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离,state[i] 如果为真,则表示找到了源点到节点 i 的最短距离,state[i] 如果为假,则表示源点到节点 i 的最短距离还没有找到。初始时,state 各个元素为假。
  1. 源点到源点的距离为 0。即dist[1] = 0。
  1. 遍历 dist 数组,找到一个节点,这个节点是:没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点。假设该节点编号为 i。此时就找到了源点到该节点的最短距离,state[i] 置为 1。

  2. 遍历 i 所有可以到达的节点 j,如果 dist[j] 大于 dist[i] 加上 i -> j 的距离,即 dist[j] > dist[i] + w[i][j](w[i][j] 为 i -> j 的距离) ,则更新 dist[j] = dist[i] + w[i][j]。

  3. 重复 3 4 步骤,直到所有节点的状态都被置为 1。

  4. 此时 dist 数组中,就保存了源点到其余各个节点的最短距离。

题目

代码

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;//邻接表存储图
int state[N];//state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离
int dist[N];//dist 数组保存源点到其余各个节点的距离
int n, m;//图的节点个数和边数

void add(int a, int b, int c)//插入边
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));//dist 数组的各个元素为无穷大
    dist[1] = 0;//源点到源点的距离为置为 0
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历 dist 数组,找到没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点t
        {
            if (!state[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;
        }

        state[t] = 1;//state[i] 置为 1。

        for (int j = h[t]; j != -1; j = ne[j])//遍历 t 所有可以到达的节点 i
        {
            int i = e[j];
            dist[i] = min(dist[i], dist[t] + w[j]);//更新 dist[j]
        }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));//邻接表初始化

    cin >> n >> m;
    while (m--)//读入 m 条边
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        add(a, b, w);
    }

    Dijkstra();
    if (dist[n] != 0x3f3f3f3f)//如果dist[n]被更新了,则存在路径
        cout << dist[n];
    else
        cout << "-1";
}

优化

下面进行优化,可以看出上方时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2), 查找距离源点最近的点没有被确定的点t需要 O ( n ) O(n) O(n),遍历t所有可以到达的节点 i需要 O ( n ) O(n) O(n), 而这可以进行优化

  • 若是用小根堆(优先队列)进行存储, 那么每次找距离最近的那个点t只需要 O ( 1 ) O(1) O(1),而遍历t所有可以到达的需要 O ( m l o g n ) O(mlog_n) O(mlogn)因为堆的修改需要 O ( l o g n ) O(log_n) O(logn)

代码如下

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 150010;
//用邻接表的话重边可以不用考虑
typedef pair<int, int> PII;
int h[N], w[N], ne[N], idx, e[N];
int n, m;
bool st[N];
int dist[N];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra() {
    memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});  //{距离,编号}
    while(heap.size()) {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int no = t.second, distance = t.first;
        if(st[no])  continue;   //若此编号已经找到距离,那么跳过
        st[no] = true;
        for(int i = h[no]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[no] + w[i]) {
                dist[j] = dist[no] + w[i];
            heap.push({dist[j], j});
            }
        }
        
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f)   return -1;
    return dist[n];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    //邻接表第一步的必备
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    int t = dijkstra();
    cout << t;
    
    return 0;
}

bellman-ford

算法分析

1、问题:为什么Dijkstra不能使用在含负权的图中?

(这是以前错误的分析,若看完这个例子分析觉得正确的说明对最短路理解得还不够透彻,这里不做删除)
分析 :如图所示:

若通过Dijkstra算法可以求出从1号点到达4号点所需的步数为3 (每次选择离源点最短距离的点更新其他点)

但实际上从 1 号点到达 4 号点所需步数为 1 (1 --> 2 --> 3),因此不能使用 Dijkstra 解决含负权图的问题

正确的分析
Dijkstra算法的3个步骤

1、找到当前未标识的且离源点最近的点t

2、对t号点点进行标识

3、用t号点更新其他点的距离
反例

结果:

dijkstra算法在图中走出来的最短路径是1 -> 2 -> 4 -> 5,算出 1 号点到 5 号点的最短距离是2 + 2 + 1 = 5,然而还存在一条路径是1 -> 3 -> 4 -> 5,该路径的长度是5 + (-2) + 1 = 4,因此 dijkstra 算法失效

dijkstra详细步骤

  • 初始dist[1] = 0`

  • 找到了未标识且离源点1最近的结点1,标记1号点,用1号点更新其他所有点的距离,2号点被更新成dist[2] = 2,3号点被更新成

    dist[3] = 5

  • 找到了未标识且离源点1最近的结点2,标识2号点,用2号点更新其他所有点的距离,4号点被更新成dist[4] = 4

  • 找到了未标识且离源点1最近的结点4,标识4号点,用4号点更新其他所有点的距离,5号点被更新成dist[5] = 5

  • 找到了未标识且离源点1最近的结点3,标识3号点,用3号点更新其他所有点的距离,4号点被更新成dist[4] = 3

    结束

  • 得到1号点到5号点的最短距离是5,对应的路径是1 -> 2 -> 4 -> 5,并不是真正的最短距离

2、什么是bellman - ford算法?

Bellman - ford 算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法,效率较低,代码难度较小。其原理为连续进行松弛,在每次松弛时把每条边都更新一下,若在 n-1 次松弛后还能更新,则说明图中有负环,因此无法得出结果,否则就完成。

(通俗的来讲就是:假设 1 号点到 n 号点是可达的,每一个点同时向指向的方向出发,更新相邻的点的最短距离,通过循环 n-1 次操作,若图中不存在负环,则 1 号点一定会到达 n 号点,若图中存在负环,则在 n-1 次松弛后一定还会更新)

3、bellman - ford算法的具体步骤

for n次
	for 所有边 a,b,w (松弛操作)
		dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

注意:back[] 数组是上一次迭代后 dist[] 数组的备份,由于是每个点同时向外出发,因此需要对 dist[] 数组进行备份,若不进行备份会因此发生串联效应,影响到下一个点

为什么需要back[a]数组

为了避免如下的串联情况, 在边数限制为一条的情况下,节点3的距离应该是3,但是由于串联情况,利用本轮更新的节点2更新了节点3的距离,所以现在节点3的距离是2。

正确做法是用上轮节点2更新的距离--无穷大,来更新节点3, 再取最小值,所以节点3离起点的距离是3。

for (int i = 0; i < k; i ++ )
{
    memcpy(backup, dist, sizeof dist);
    for (int j = 0; j < m ; j ++ )
    {
        int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
        dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
    }
}

4、在下面代码中,是否能到达n号点的判断中需要进行if(dist[n] > INF/2)判断,而并非是if(dist[n] == INF)判断,原因是INF是一个确定的值,并非真正的无穷大,会随着其他数值而受到影响,dist[n]大于某个与INF相同数量级的数即可

5、bellman - ford算法擅长解决有边数限制的最短路问题
时间复杂度 O(nm)

其中n为点数,m为边数

作者:小呆呆

链接:https://www.acwing.com/solution/content/6320/

来源:AcWing

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

只能用bellman-ford来解决的题型

有边数限制的最短路

这里题目说了可能为负权边或者负权回路,那么就不能用dijkstraspfa算法

dijkstra不能解决负权边是因为 dijkstra要求每个点被确定后st[j] = true,dist[j]就是最短距离了,之后就不能再被更新了(一锤子买卖),而如果有负权边的话,那已经确定的点的dist[j]不一定是最短了

题目

完整代码

cpp 复制代码
```cpp
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

struct Edge
{
    int a, b, c;
}edges[M];

int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++ )
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        edges[i] = {a, b, c};
    }

    bellman_ford();

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else printf("%d\n", dist[n]);

    return 0;
}

```

spfa求最短路

spfa 算法思路

明确一下松弛的概念。
  • 考虑节点u以及它的邻居v,从起点跑到v有好多跑法,有的跑法经过u,有的不经过。

  • 经过u的跑法的距离就是dist[u]+u到v的距离。

  • 所谓松弛操作,就是看一看dist[v]和dist[u]+u到v的距离哪个大一点。

  • 如果前者大一点,就说明当前的不是最短路,就要赋值为后者,这就叫做松弛。

spfa算法文字说明:
  • 一个队列,初始时队列里只有起始点。

  • 再建立一个数组记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。

  • 再建立一个数组,标记点是否在队列中。

  • 队头不断出队,计算始点起点经过队头到其他点的距离是否变短,如果变短且被点不在队列中,则把该点加入到队尾。

  • 重复执行直到队列为空。

  • 在保存最短路径的数组中,就得到了最短路径。

spfa 图解:
  • 给定一个有向图,如下,求A~E的最短路。
  • 源点A首先入队,然后A出队,计算出到BC的距离会变短,更新距离数组,BC没在队列中,BC入队
  • B出队,计算出到D的距离变短,更新距离数组,D没在队列中,D入队。然后C出队,无点可更新。
  • D出队,计算出到E的距离变短,更新距离数组,E没在队列中,E入队。

  • E出队,此时队列为空,源点到所有点的最短路已被找到,A->E的最短路即为8

题目

https://www.acwing.com/problem/content/853/

完整代码

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
int w[N], h[N], idx, ne[N], e[N];
int n, m;
int dist[N];    //各点到源点的距离
bool st[N];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa() {
    memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    queue<int> q;    
    q.push(1);
    
    st[1] = true;   //代表在队列中了
    while(q.size()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if(!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;   //在队列中了
                }
            }
        }
    }
    return dist[n];
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while(m --) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        add(a, b, w);
    }
    int res = spfa();
    if(res == 0x3f3f3f3f)   cout << "impossible";
    else cout << res;
    
    return 0;
}

总结tips


spfa判断负环

https://www.acwing.com/problem/content/854/

算法分析

使用spfa算法解决是否存在负环问题

求负环的常用方法,基于SPFA,一般都用方法 2(该题也是用方法 2):

  • 方法 1:统计每个点入队的次数,如果某个点入队n次,则说明存在负环-
  • 方法 2:统计当前每个点的最短路中所包含的边数,如果某点的最短路所包含的边数大于等于n,则也说明存在环
  1. dist[x] 记录虚拟源点到x的最短距离

  2. cnt[x] 记录当前x点到虚拟源点最短路的边数,初始每个点到虚拟源点的距离为0,只要他能再走n步,即cnt[x] >= n,则表示该图中一定存在负环,由于从虚拟源点到x至少经过n条边时,则说明图中至少有n + 1个点,表示一定有点是重复使用

  3. dist[j] > dist[t] + w[i],则表示从t点走到j点能够让权值变少,因此进行对该点j进行更新,并且对应cnt[j] = cnt[t] + 1,往前走一步

注意:该题是判断是否存在负环,并非判断是否存在从1开始的负环,因此需要将所有的点都加入队列中,更新周围的点

故只需要对上方代码稍做改动即可:

代码如下

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
int w[N], h[N], idx, ne[N], e[N];
int n, m;
int dist[N];    //各点到源点的距离
int cnt[N]; //存储边的个数
bool st[N];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa() {
    memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);	
    dist[1] = 0;			
    queue<int> q;    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }

    while(q.size()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;

        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if(cnt[j] > n)  return true;
                if(!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;   //在队列中了
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while(m --) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        add(a, b, w);
    }
    bool res = spfa();
    if(res) cout << "Yes";
    else cout << "No";

    return 0;
}

Floyd求最短路

求多源最短路

通过中转动态规划来递推出最短路径距离

ij经过k,通过三重循环来实现

初始化自环为0,其他为INF

对于重边的情况下,我们初始化取最小距离

模拟过程

链接:https://www.acwing.com/problem/content/856/

题目

代码如下

cpp 复制代码
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, Q;
int d[N][N];
void floyd() {
    for(int k = 1; k <= n; k++)		//依次经过1~n中的n各点进行中转
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
int main() {
    cin >> n >> m >> Q;
    //初始化处理重边和自环
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i == j)  d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
    
    while(m --) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        d[x][y] = min(d[x][y], z);
    }
    floyd();
    while(Q --) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        int res = d[a][b];
        if(res > INF / 2) printf("impossible\n");
        else cout << res << '\n';
    }
    
    return 0;
}
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