数据结构---堆

一、堆

概念：一种有特殊用途的数据结构，用来在一组频繁变化的数据中查找最值。

性质：

1.堆是一个完全二叉树（除叶子节点外，每个节点都含有两个子节点）。

2.堆中某个节点的值总是不大于（大根堆，最大堆） 或**不小于（小根堆，最小堆）**其父节点的值
小根堆 大根堆

存储方式：

对于一个线性的一维数组，将其转化成完全二叉树。

以线性方式存储完全二叉树，每个节点与其子节点的关系为：

child1=parent*2，child2=parent*2+1

二、堆的基本操作

1.节点的向下调整

对于一个完全二叉树，当根节点的两个子树都是堆，如何将整个树变化为堆

如图，此时根节点的两个子树都是小根堆，要想将整个树变为堆，需要将根节点向下调整

以一般情况考虑节点的向下调整：

①当父节点存在两个子节点：

将左节点与右节点相比较，选出较小的节点 min 与父节点比较交换，并且将此时的父节点移向子节点，继续进行操作，直至无子节点 。否则直接返回**（此时父节点已经小于子节点了，满足小根堆的性质）**

cpp 复制代码

if(a[min]<a[parent])
{
    swap(a[min],a[parent]);
    parent=min;
}
else return ;

②当父节点有且仅有一个左子节点：

将父节点与左子节点进行比较，同上

cpp 复制代码

if(a[child1]<a[parent])
{
    swap(a[child1],a[parent]);
    parent=child1;
}
else return ;

向下操作的伪代码：

cpp 复制代码

void heapdown(int x)// 向下调整
{
    while(1)
    {
        if(x>n) return ;
        int child1=x*2;
        int child2=x*2+1;
        int min=child1;
        if(child1>n) return ; // 无子节点
        if(child2>n) // 无右节点，只考虑左节点
        {
            if(a[min]<a[x]) // 小堆
            {
                int t=a[min];   //swap(a[child1],a[x]);
                a[min]=a[x];
                a[x]=t;
                x=min;
            }
            else return ;
        }
        else
        {
            if(a[child1]>a[child2]) min=child2;
            if(a[min]<a[x]) // 小堆
            {
                int t=a[min];   //swap(a[child1],a[x]);
                a[min]=a[x];
                a[x]=t;
                x=min;
            }
            else return ;
        }
    }  
}

2.堆的创建

根据以上将一维数组转化为完全二叉树，再将该二叉树变化成堆（大根堆，小根堆均可），下面以小根堆为例创建。

从上述来看，当完全二叉树变得非常混乱时（根节点与子节点没有规律的大小关系），可以采用递推的想法，从叶子节点的父节点开始向下调整，这样当某层的节点都进行了向下调整的操作时，该层的每个节点都是一个以自己为根节点的小根堆，一直推导到二叉树的根节点。

cpp 复制代码

for(int i=n/2;i>=1;i--) heapdown(i); //从叶子节点的父节点开始，往上每个节点都进行一次向下操作

3.堆的插入操作

在堆中插入一个新的元素，并通过操作保持堆的性质（以小根堆为例）

①将堆的元素个数加1，并且将插入的元素放入二叉树尾端

②将该节点向上调整，保持堆的性质

关于向上调整

本质和向下调整一样，都是为了保持堆的性质，只不过是向下调整的逆向

这里与向下调整有不同的地方：因为向下调整操作对子节点是未知的（不知道是否存在某个子节点，需要判断边界和左右节点），而向上调整都是已知的，不需要判断边界，更简便些。

cpp 复制代码

void heapup(int x) // 向上调整
{
    int parent=x/2; // 找到父节点
    while(parent>0)
    {
        if(a[parent]<a[x]) return; //比较
        int t=a[x];a[x]=a[parent];a[parent]=t;
        x=parent;
        parent=x/2;
    }
}

4.堆的删除操作

①堆的删除都是根节点删除，将最尾端的元素与根节点交换。

②再进行根节点的向下调整

cpp 复制代码

a[1]=a[n];
n--;
heapdown(1)； // 向下调整操作

三、堆的应用

1.堆排序

排序分为升序（从小到大） 和降序（从大到小） ，分别运用大根堆 和小根堆。

这里以升序，运用大根堆为例。

主要思想：由于每个大根堆的根节点值最大，则将其删除后**（a[1]与a[n]交换）** ，再一次从根节点向下调整为一个新的堆时，新根节点（次大值） 为新大根堆的最大值，再次进行删除根节点操作**（a[1]与a[n-1]交换）**，共进行（n-1）次重复操作时，此时的堆即为升序排列。

cpp 复制代码

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=n/2;i>=1;i--) heapdown(i); // 构建大根堆
    int n1=n;
    for(int i=1;i<n1;i++) // 进行 （n-1）次重复操作
    {
        int t=a[n]; a[n]=a[1];a[1]=t; n--;
        heapdown(1); // 从根节点向下调整
    }
    for(int i=1;i<=n1;i++) printf("%d ",a[i]);

2. top-k问题

要从N个数字中取得最小的K个数字 ，则需要创建元素大小为K的大堆来获取。

要从N个数字中取得最大的K个数字 ，则需要创建元素大小为K的小堆来获取。

以取N个数字中取得最小的K个数字，创建大根堆为例

主要思想：

① 先将数组中n个元素放入堆中，保持大根堆的性质。

②将新的元素插入堆中，通过向上调整保持大根堆的性质。

③将根节点删除（根节点最大），保持大根堆里面的前K个元素是当前最小的K个元素。

④重复操作②和③，直至无新元素插入堆中。

学习文章：

数据结构-【堆】详解

数据结构-【堆】带图详解数据结构-【堆】带图详解