数据结构和算法：栈与队列

飞大圣2024-03-14 12:59

栈

栈 （stack）是一种遵循先入后出逻辑的线性数据结构

把堆叠元素的顶部称为"栈顶"，底部称为"栈底"。

将把元素添加到栈顶的操作叫作"入栈"，删除栈顶元素的操作叫作"出栈"。

栈的常用操作

cpp 复制代码 
/* 初始化栈 */
stack<int> stack;
/* 元素入栈 */
stack.push(1);
stack.push(3);
stack.push(2);
stack.push(5);
stack.push(4);
/* 访问栈顶元素 */
int top = stack.top();
/* 元素出栈 */
stack.pop(); // 无返回值
/* 获取栈的长度 */
int size = stack.size();
/* 判断是否为空 */
bool empty = stack.empty();

栈的实现

栈可以视为一种受限制的数组或链表：只能在末尾添加和删除元素。

基于链表的实现

将链表的头节点视为栈顶，尾节点视为栈底。

对于入栈操作，只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为"头插法"。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。

cpp 复制代码 
/**
 * File: linkedlist_stack.cpp
 * Created Time: 2022-11-28
 * Author: qualifier1024 (2539244001@qq.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
  private:
    ListNode *stackTop; // 将头节点作为栈顶
    int stkSize;        // 栈的长度

  public:
    LinkedListStack() {
        stackTop = nullptr;
        stkSize = 0;
    }

    ~LinkedListStack() {
        // 遍历链表删除节点，释放内存
        freeMemoryLinkedList(stackTop);
    }

    /* 获取栈的长度 */
    int size() {
        return stkSize;
    }

    /* 判断栈是否为空 */
    bool isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入栈 */
    void push(int num) {
        ListNode *node = new ListNode(num);
        node->next = stackTop;
        stackTop = node;
        stkSize++;
    }

    /* 出栈 */
    int pop() {
        int num = top();
        ListNode *tmp = stackTop;
        stackTop = stackTop->next;
        // 释放内存
        delete tmp;
        stkSize--;
        return num;
    }

    /* 访问栈顶元素 */
    int top() {
        if (isEmpty())
            throw out_of_range("栈为空");
        return stackTop->val;
    }

    /* 将 List 转化为 Array 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        ListNode *node = stackTop;
        vector<int> res(size());
        for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--) {
            res[i] = node->val;
            node = node->next;
        }
        return res;
    }
};

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化栈 */
    LinkedListStack *stack = new LinkedListStack();

    /* 元素入栈 */
    stack->push(1);
    stack->push(3);
    stack->push(2);
    stack->push(5);
    stack->push(4);
    cout << "栈 stack = ";
    printVector(stack->toVector());

    /* 访问栈顶元素 */
    int top = stack->top();
    cout << "栈顶元素 top = " << top << endl;

    /* 元素出栈 */
    top = stack->pop();
    cout << "出栈元素 pop = " << top << "，出栈后 stack = ";
    printVector(stack->toVector());

    /* 获取栈的长度 */
    int size = stack->size();
    cout << "栈的长度 size = " << size << endl;

    /* 判断是否为空 */
    bool empty = stack->isEmpty();
    cout << "栈是否为空 = " << empty << endl;

    // 释放内存
    delete stack;

    return 0;
}

基于数组的实现

以将数组的尾部作为栈顶，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 𝑂(1)。

由于入栈的元素可能会源源不断地增加，因此可以使用动态数组，这样就无须自行处理数组扩容问题。

cpp 复制代码 
/**
 * File: array_stack.cpp
 * Created Time: 2022-11-28
 * Author: qualifier1024 (2539244001@qq.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 基于数组实现的栈 */
class ArrayStack {
  private:
    vector<int> stack;

  public:
    /* 获取栈的长度 */
    int size() {
        return stack.size();
    }

    /* 判断栈是否为空 */
    bool isEmpty() {
        return stack.size() == 0;
    }

    /* 入栈 */
    void push(int num) {
        stack.push_back(num);
    }

    /* 出栈 */
    int pop() {
        int num = top();
        stack.pop_back();
        return num;
    }

    /* 访问栈顶元素 */
    int top() {
        if (isEmpty())
            throw out_of_range("栈为空");
        return stack.back();
    }

    /* 返回 Vector */
    vector<int> toVector() {
        return stack;
    }
};

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化栈 */
    ArrayStack *stack = new ArrayStack();

    /* 元素入栈 */
    stack->push(1);
    stack->push(3);
    stack->push(2);
    stack->push(5);
    stack->push(4);
    cout << "栈 stack = ";
    printVector(stack->toVector());

    /* 访问栈顶元素 */
    int top = stack->top();
    cout << "栈顶元素 top = " << top << endl;

    /* 元素出栈 */
    top = stack->pop();
    cout << "出栈元素 pop = " << top << "，出栈后 stack = ";
    printVector(stack->toVector());

    /* 获取栈的长度 */
    int size = stack->size();
    cout << "栈的长度 size = " << size << endl;

    /* 判断是否为空 */
    bool empty = stack->isEmpty();
    cout << "栈是否为空 = " << empty << endl;

    // 释放内存
    delete stack;

    return 0;
}

两种实现对比

支持操作

两种实现都支持栈定义中的各项操作。数组实现额外支持随机访问，但这已超出了栈的定义范畴，因此一般不会用到。

时间效率

在基于数组的实现中，入栈和出栈操作都在预先分配好的连续内存中进行，具有很好的缓存本地性，因此效率较高。然而，如果入栈时超出数组容量，会触发扩容机制，导致该次入栈操作的时间复杂度变为 𝑂(𝑛) 。

在基于链表的实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。

综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 int 或 double ，我们可以得出以下结论。

1.基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。

2.基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。

空间效率

在初始化列表时，系统会为列表分配"初始容量"，该容量可能超出实际需求；并且，扩容机制通常是按照特定倍率（例如 2 倍）进行扩容的，扩容后的容量也可能超出实际需求。

因此，基于数组实现的栈可能造成一定的空间浪费。然而，由于链表节点需要额外存储指针，因此链表节点占用的空间相对较大。

栈的典型应用

浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销。如果要同时支持后退和前进，那么需要两个栈来配合实现。

程序内存管理。每次调用函数时，系统都会在栈顶添加一个栈帧，用于记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推阶段会不断执行入栈操作，而向上回溯阶段则会不断执行出栈操作。

队列

队列 （queue）是一种遵循先入先出规则的线性数据结构。

将队列头部称为"队首"，尾部称为"队尾"，将把元素加入队尾的操作称为"入队"，删除队首元素的操作称为"出队"。

队列的常用操作

cpp 复制代码 
/**
 * File: deque.cpp
 * Created Time: 2022-11-25
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化双向队列 */
    deque<int> deque;

    /* 元素入队 */
    deque.push_back(2);
    deque.push_back(5);
    deque.push_back(4);
    deque.push_front(3);
    deque.push_front(1);
    cout << "双向队列 deque = ";
    printDeque(deque);

    /* 访问元素 */
    int front = deque.front();
    cout << "队首元素 front = " << front << endl;
    int back = deque.back();
    cout << "队尾元素 back = " << back << endl;

    /* 元素出队 */
    deque.pop_front();
    cout << "队首出队元素 popFront = " << front << "，队首出队后 deque = ";
    printDeque(deque);
    deque.pop_back();
    cout << "队尾出队元素 popLast = " << back << "，队尾出队后 deque = ";
    printDeque(deque);

    /* 获取双向队列的长度 */
    int size = deque.size();
    cout << "双向队列长度 size = " << size << endl;

    /* 判断双向队列是否为空 */
    bool empty = deque.empty();
    cout << "双向队列是否为空 = " << empty << endl;

    return 0;
}

队列实现

可以在一端添加元素，并在另一端删除元素，链表和数组都符合要求。

基于链表的实现

以将链表的"头节点"和"尾节点"分别视为"队首"和"队尾"，规定队尾仅可添加节点，队首仅可删除节点。

cpp 复制代码 
/**
 * File: linkedlist_queue.cpp
 * Created Time: 2022-11-25
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
  private:
    ListNode *front, *rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
    int queSize;

  public:
    LinkedListQueue() {
        front = nullptr;
        rear = nullptr;
        queSize = 0;
    }

    ~LinkedListQueue() {
        // 遍历链表删除节点，释放内存
        freeMemoryLinkedList(front);
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        // 在尾节点后添加 num
        ListNode *node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (front == nullptr) {
            front = node;
            rear = node;
        }
        // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else {
            rear->next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    int pop() {
        int num = peek();
        // 删除头节点
        ListNode *tmp = front;
        front = front->next;
        // 释放内存
        delete tmp;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (size() == 0)
            throw out_of_range("队列为空");
        return front->val;
    }

    /* 将链表转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        ListNode *node = front;
        vector<int> res(size());
        for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
            res[i] = node->val;
            node = node->next;
        }
        return res;
    }
};

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化队列 */
    LinkedListQueue *queue = new LinkedListQueue();

    /* 元素入队 */
    queue->push(1);
    queue->push(3);
    queue->push(2);
    queue->push(5);
    queue->push(4);
    cout << "队列 queue = ";
    printVector(queue->toVector());

    /* 访问队首元素 */
    int peek = queue->peek();
    cout << "队首元素 peek = " << peek << endl;

    /* 元素出队 */
    peek = queue->pop();
    cout << "出队元素 pop = " << peek << "，出队后 queue = ";
    printVector(queue->toVector());

    /* 获取队列的长度 */
    int size = queue->size();
    cout << "队列长度 size = " << size << endl;

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty = queue->isEmpty();
    cout << "队列是否为空 = " << empty << endl;

    // 释放内存
    delete queue;

    return 0;
}

基于数组的实现

在数组中删除首元素的时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，这会导致出队操作效率较低。

可以采用以下巧妙方法来避免这个问题：

使用一个变量 front 指向队首元素的索引，并维护一个变量 size 用于记录队列长度。定义 rear = front + size ，这个公式计算出的 rear 指向队尾元素之后的下一个位置。

基于此设计，数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1]

入队操作：将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 size 增加 1 。

出队操作：只需将 front 增加 1 ，并将 size 减少 1 。

这样可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 𝑂(1)。

但这样在不断进行入队和出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，当它们到达数组尾部时就无法继续移动了。为了解决此问题，可以将数组视为首尾相接的"环形数组"。

cpp 复制代码 
/**
 * File: array_queue.cpp
 * Created Time: 2022-11-25
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
  private:
    int *nums;       // 用于存储队列元素的数组
    int front;       // 队首指针，指向队首元素
    int queSize;     // 队列长度
    int queCapacity; // 队列容量

  public:
    ArrayQueue(int capacity) {
        // 初始化数组
        nums = new int[capacity];
        queCapacity = capacity;
        front = queSize = 0;
    }

    ~ArrayQueue() {
        delete[] nums;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    int capacity() {
        return queCapacity;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        if (queSize == queCapacity) {
            cout << "队列已满" << endl;
            return;
        }
        // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % queCapacity;
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    int pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部，则返回到数组头部
        front = (front + 1) % queCapacity;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (isEmpty())
            throw out_of_range("队列为空");
        return nums[front];
    }

    /* 将数组转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        vector<int> arr(queSize);
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            arr[i] = nums[j % queCapacity];
        }
        return arr;
    }
};

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化队列 */
    int capacity = 10;
    ArrayQueue *queue = new ArrayQueue(capacity);

    /* 元素入队 */
    queue->push(1);
    queue->push(3);
    queue->push(2);
    queue->push(5);
    queue->push(4);
    cout << "队列 queue = ";
    printVector(queue->toVector());

    /* 访问队首元素 */
    int peek = queue->peek();
    cout << "队首元素 peek = " << peek << endl;

    /* 元素出队 */
    peek = queue->pop();
    cout << "出队元素 pop = " << peek << "，出队后 queue = ";
    printVector(queue->toVector());

    /* 获取队列的长度 */
    int size = queue->size();
    cout << "队列长度 size = " << size << endl;

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty = queue->isEmpty();
    cout << "队列是否为空 = " << empty << endl;

    /* 测试环形数组 */
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        queue->push(i);
        queue->pop();
        cout << "第 " << i << " 轮入队 + 出队后 queue = ";
        printVector(queue->toVector());
    }

    // 释放内存
    delete queue;

    return 0;
}

以上实现的队列仍然具有局限性：其长度不可变。然而，这个问题不难解决，可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。

队列典型应用

订单。购物者下单后，订单将加入队列中，系统随后会根据顺序处理队列中的订单。在双十一期间，短时间内会产生海量订单，高并发成为工程师们需要重点攻克的问题。

各类待办事项。任何需要实现"先来后到"功能的场景，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等，队列在这些场景中可以有效地维护处理顺序。

双向队列

双向队列（double‑ended queue）允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作

双向队列常用操作

cpp 复制代码 
/**
 * File: deque.cpp
 * Created Time: 2022-11-25
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* Driver Code */
int main() {
    /* 初始化双向队列 */
    deque<int> deque;

    /* 元素入队 */
    deque.push_back(2);
    deque.push_back(5);
    deque.push_back(4);
    deque.push_front(3);
    deque.push_front(1);
    cout << "双向队列 deque = ";
    printDeque(deque);

    /* 访问元素 */
    int front = deque.front();
    cout << "队首元素 front = " << front << endl;
    int back = deque.back();
    cout << "队尾元素 back = " << back << endl;

    /* 元素出队 */
    deque.pop_front();
    cout << "队首出队元素 popFront = " << front << "，队首出队后 deque = ";
    printDeque(deque);
    deque.pop_back();
    cout << "队尾出队元素 popLast = " << back << "，队尾出队后 deque = ";
    printDeque(deque);

    /* 获取双向队列的长度 */
    int size = deque.size();
    cout << "双向队列长度 size = " << size << endl;

    /* 判断双向队列是否为空 */
    bool empty = deque.empty();
    cout << "双向队列是否为空 = " << empty << endl;

    return 0;
}

双向队列实现

基于双向链表的实现

们将双向链表的头节点和尾节点视为双向队列的队首和队尾，同时实现在两端添加和删除节点的功能。

基于数组的实现

可以使用环形数组来实现双向队列。

双向队列应用

双向队列兼具栈与队列的逻辑，因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度。

软件的"撤销"功能通常使用栈来实现：系统将每次更改操作 push 到栈中，然后通过 pop 实现撤销。然而，考虑到系统资源的限制，软件通常会限制撤销的步数（例如仅允许保存 50 步）。当栈的长度超过50 时，软件需要在栈底（队首）执行删除操作。但栈无法实现该功能，此时就需要使用双向队列来替代栈。

学习地址：https://github.com/krahets/hello-algo

重新复习数据结构，所有的内容都来自这里。

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