2024/3/14打卡k倍区间(8届蓝桥杯)——前缀和+优化***

题目

给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,...AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,...Aj 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 $i,j$ 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围

1≤N,K≤100000,

1≤Ai≤100000

输入样例：
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5 2
1
2
3
4
5
输出样例：
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6

思路

第一种O(n^3) 暴力枚举

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for(int i=1;i<=n;i++){ // 从1枚举到n 
    for(int j=1;j<=i;j++){ // 从1枚举到i
        for(int k=j;k<=i;k++) // 计算i~j的和
            sum += a[k]
        if(sum%k==0) res++; 
    }
}

第二种O(n^2) 使用前缀和（仍然过不了，甚至过的点是跟暴力一样的）

前缀和（一维+二维）-CSDN博客

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for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=i;j++){
        if((s[i]-s[j-1])%k==0) res++;
    }
}

第三种O(N) 在前缀和基础上优化

在第二种方法的第二层循环里面，目的是判断，即，判断两个余数是否相等 ，如果在第层循环里面，我们可以知道从到中有哪些的前缀和等于，那么这一段就是K倍区间。

新开一个数组 cnt ,存储前 i 个值的余数情况。

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cnt[0] = 1; // 如果某个数自身也可以整除k，说明取余为0，所以cnt[0]初始化为1,
for(int i=1;i<=n;i++){
    int t = s[i]%k; // i个值的前缀和对k取余
    res += cnt[t]; // 加上前 0~i-1 有相同的余数的个数
    cnt[t]++; // 第i个前缀和取余k的余数对应的cnt++
}

完整代码

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import java.io.*;

class Main{
    static int N = 100010;
    static int n,k;
    static int[] cnt = new int[N];
    static long res;
    static long[] s = new long[N];
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] str = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(str[0]);
        k = Integer.parseInt(str[1]);

        for(int i=1;i<=n;i++){ // 求前缀和
            s[i] = s[i-1]+Integer.parseInt(in.readLine());
        }

        cnt[0] = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            long t = s[i]%k;
            res += cnt[(int)t];
            cnt[(int)t]++;
        }
        System.out.println(res);
    }
}