并查集
一、并查集原理
在一些应用问题中，需要将 n 个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并 。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。
例如有 10 个数字如下，开始时每个元素单独成为一个集体，所以我们可以使用数组模拟，用数组下标标记不同的元素，内容如果是 -1 表示自己单独是一个集合，并且只有自己一个元素；如果是负几，就代表这个集合有几个元素；如果是大于0，代表自己是一个集合的元素，该集合的数组下标就是这个大于0的数：
我们简单对这些数进行分组：
用数组表示如下：
所以总结一下：
- 数组的下标对应集合中元素的编号
- 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
- 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标
假设我们将 1 下标的集合合并到 0 下标中，结果如下：
现在 0 下标的集合有 7 个元素， 2 下标的集合有3个人，总共两个集合。
通过以上例子可知，并查集一般可以解决以下问题：
- 查找元素属于哪个集合
- 沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中元素为负数的位置)
- 查看两个元素是否属于同一个集合
- 沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
- 将两个集合归并成一个集合
- 将两个集合中的元素合并
- 将一个集合名称改成另一个集合的名称
- 集合的个数
- 遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。
二、并查集简单实现
并查集的基本实现如下代码所示：
class UnionFind
{
public:
// 构造函数初始化数组
UnionFind(size_t size)
:_uf(size, -1)
{}
// 找到根的下标
int FindRoot(int index)
{
while(_uf[index] >= 0){
index = _uf[index];
}
return index;
}
// 合并两个集合
bool Union(int index1, int index2)
{
int root1 = FindRoot(index1);
int root2 = FindRoot(index2);
// 已经在一个集合中
if(root1 == root2) return false;
_uf[root1] += _uf[root2];
_uf[root2] = root1;
return true;
}
// 返回集合的数量
size_t Count() const
{
size_t cnt = 0;
for(auto e : _uf){
if(e < 0){
cnt++;
}
}
return cnt;
}
private:
std::vector<int> _uf;
};
三、并查集的应用
下面我们看两道题对于并查集的应用：
1. 省份数量
题目：有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。
省份是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。
给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。
返回矩阵中省份的数量。
示例一：
输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2
示例二：
输入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
输出：3
提示：
- 1 <= n <= 200
- n == isConnected.length
- n == isConnected[i].length
- isConnected[i][j] 为 1 或 0
- isConnected[i][i] == 1
- isConnected[i][j] == isConnected[j][i]
思路：我们只需要遍历这个二维数组，只要是值为1的位置，我们就将这个位置的下标放入一个集合中，我们同样使用数组模拟并查集，最后统计并查集中小于0的个数即是省份的数量。代码如下：
class Solution {
public:
int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
vector<int> uf(isConnected.size(), -1);
auto FindRoot = [&uf](int index)
{
while(uf[index] >= 0){
index = uf[index];
}
return index;
};
for(int i = 0; i < isConnected.size(); i++){
for(int j = i + 1; j < isConnected[i].size(); j++){
if(isConnected[i][j] == 1){
int root1 = FindRoot(i);
int root2 = FindRoot(j);
if(root1 != root2){
uf[root1] += uf[root2];
uf[root2] = root1;
}
}
}
}
int cnt = 0;
for(auto e : uf){
if(e < 0){
cnt++;
}
}
return cnt;
}
};
2. 等式方程的可满足性
题目：给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一："a==b" 或 "a!=b"。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。
只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。
示例 1：
输入：["a==b","b!=a"]
输出：false
解释：如果我们指定，a = 1 且 b = 1，那么可以满足第一个方程，但无法满足第二个方程。没有办法分配变量同时满足这两个方程。
示例 2：
输入：["ba","ab"]
输出：true
解释：我们可以指定 a = 1 且 b = 1 以满足满足这两个方程。
示例 3：
输入：["ab","bc","a==c"]
输出：true
示例 4：
输入：["ab","b!=c","ca"]
输出：false
示例 5：
输入：["cc","bd","x!=z"]
输出：true
提示：
- 1 <= equations.length <= 500
- equations[i].length == 4
- equations[i][0] 和 equations[i][3] 是小写字母
- equations[i][1] 要么是 '='，要么是 '!'
- equations[i][2] 是 '='
思路：因为只是对小写字母之间判断是否有相悖的结论，所以我们可以先遍历一遍，将所有相等的放入一个并查集中；然后第二次遍历就找不相等的，如果这两个不相等的元素出现在并查集中，说明结论相悖，直接返回 false；否则返回 true；代码如下：
class Solution {
public:
bool equationsPossible(vector<string>& equations)
{
vector<int> uf(26, -1);
auto FindRoot = [&uf](int index)
{
while(uf[index] >= 0){
index = uf[index];
}
return index;
};
// 先将相同的元素放入一个集合
for(auto& str : equations){
int root1 = FindRoot(str[0] - 'a');
int root2 = FindRoot(str[3] - 'a');
if(str[1] == '='){
if(root1 != root2){
uf[root1] += uf[root2];
uf[root2] = root1;
}
}
}
for(auto& str : equations){
int root1 = FindRoot(str[0] - 'a');
int root2 = FindRoot(str[3] - 'a');
// 相悖
if(str[1] == '!'){
if(root1 == root2){
return false;
}
}
}
return true;
}
};