每日OJ题_简单多问题dp⑦_力扣123. 买卖股票的最佳时机 III

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状态机分析

解析代码

力扣123. 买卖股票的最佳时机 III

123. 买卖股票的最佳时机 III

难度困难

给定一个数组，它的第i 个元素是一支给定的股票在第 i天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

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输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

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输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

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输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

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输入：prices = [1]
输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {

    }
};

状态机分析

以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：由于有**买入和卖出（可交易）**两个状态，因此可以选择用两个数组。但是这道题里面还有交易次数的限制，因此还需要再加上一维，用来表示交易次数。其中：

f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于买入状态，此时的最大利润，
g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于**卖出（可交易）**状态，此时的最大利润。

状态机：

对于f[i][j]，有两种情况到这个状态：

在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于买入状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ;
在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于**卖出（可交易）**状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最大利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。

综上，要的是最大利润，因此是两者的最大值：f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]) ;

对于 g[i][j] ，也有两种情况可以到达这个状态：

在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于**卖出（可交易）**状态，第 i 天啥也不干即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于买入状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 比交易。此时的最大利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不⼀定存在，要先判断⼀下。

综上，我们要的是最大利润，因此状态转移方程为：

g[i][j] = g[i - 1][j];

if(j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);

初始化、填表顺序、返回值：

对于 f 表 由于需要用到 i = 0 时的状态，因此初始化第一行即可。当处于第 0 天的时候，只能处于买入过一次 的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] ，其它为负无穷。

对于 g 表 由于需要用到 i = 0 时的状态，因此初始化第一行即可。当处于第 0 天的时候，处于卖出（可交易）状态 ，啥也不干即可，此时的收益为0 ，因此 f[0][0] = 0，其它为负无穷。

对于负无穷： 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态起不到干扰的作用，将它们初始化为负INF （用INT_MIN 在计算过程中会有溢出的风险，这里 INF 折半取 0x3f3f3f3f ，足够小即可）。

填表顺序从左往右两个表一起填，最后返回 g 表最后一行的最大值。

解析代码

cpp 复制代码

class Solution {
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, -INF)); // 最多两笔
        vector<vector<int>> g(n, vector<int>(3, -INF));
        f[0][0] = -prices[0];
        g[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i < n; ++i)
        {
            for(int j = 0; j < 3; ++j)
            {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j] - prices[i]);
                g[i][j] = g[i-1][j];
                if(j-1 >= 0)
                    g[i][j] = max(g[i-1][j], f[i-1][j-1] + prices[i]);
            }
        }
        return max(g[n-1][0], max(g[n-1][1], g[n-1][2]));
    }
};