lc1969. 数组元素的最小非零乘积
题目描述
给你一个正整数 p 。你有一个下标从 1 开始的数组 nums ,这个数组包含范围 [1, 2p - 1] 内所有整数的二进制形式(两端都 包含)。你可以进行以下操作 任意 次:
从 nums 中选择两个元素 x 和 y 。
选择 x 中的一位与 y 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数 相同位置 的二进制位。
比方说,如果 x = 1101 且 y = 0011 ,交换右边数起第 2 位后,我们得到 x = 1111 和 y = 0001 。
请你算出进行以上操作 任意次 以后,nums 能得到的 最小非零 乘积。将乘积对 109 + 7 取余 后返回。
注意:答案应为取余 之前 的最小值。
1 <= p <= 60
思路
我们注意到,每一次操作,并不会改变元素的和,而在元素和不变的情况下,要想使得乘积最小,应该尽可能最大化元素的差值。
由于最大的元素为 2^p−1,无论与哪个元素交换,都不会使得差值变大,因此我们不需要考虑与最大元素交换的情况。
对于其它的[1,..2^p−2]
的元素,我们依次将首尾元素两两配对,即 x 与 [1,..2^p−1-x]
进行配置,那么经过若干次操作过后,每一对元素都变成了 (1,2^p−2)
,那么最终的乘积为 (2^p−1)×(2^p−2)^(2^(p-1)-1)
代码
class Solution:
def minNonZeroProduct(self, p: int) -> int:
mod = 10**9+7
def qpow(a,b):
res = 1
while b>0:
if (b&1)==1:
res = res * a%mod
a = a * a%mod
b>>=1
return res
kk = 2**p-1
bb = 2**(p-1)-1
return kk%mod * qpow((kk-1),bb)%mod # 也可以用python自带的pow(a,b,mod)