【力扣每日一题】lc1969. 数组元素的最小非零乘积(思维+构造)

lc1969. 数组元素的最小非零乘积

题目描述

给你一个正整数 p 。你有一个下标从 1 开始的数组 nums ,这个数组包含范围 [1, 2p - 1] 内所有整数的二进制形式(两端都 包含)。你可以进行以下操作 任意 次:

从 nums 中选择两个元素 x 和 y 。

选择 x 中的一位与 y 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数 相同位置 的二进制位。

比方说,如果 x = 1101 且 y = 0011 ,交换右边数起第 2 位后,我们得到 x = 1111 和 y = 0001 。

请你算出进行以上操作 任意次 以后,nums 能得到的 最小非零 乘积。将乘积对 109 + 7 取余 后返回。

注意:答案应为取余 之前 的最小值。

1 <= p <= 60

思路

我们注意到,每一次操作,并不会改变元素的和,而在元素和不变的情况下,要想使得乘积最小,应该尽可能最大化元素的差值。

由于最大的元素为 2^p−1,无论与哪个元素交换,都不会使得差值变大,因此我们不需要考虑与最大元素交换的情况。

对于其它的[1,..2^p−2]的元素,我们依次将首尾元素两两配对,即 x 与 [1,..2^p−1-x] 进行配置,那么经过若干次操作过后,每一对元素都变成了 (1,2^p−2),那么最终的乘积为 (2^p−1)×(2^p−2)^(2^(p-1)-1)

代码

class Solution:
    def minNonZeroProduct(self, p: int) -> int:
        mod = 10**9+7
        def qpow(a,b):
            res = 1
            while b>0:
                if (b&1)==1:
                    res = res * a%mod
                a = a * a%mod
                b>>=1
            return res
        kk = 2**p-1
        bb = 2**(p-1)-1
        return kk%mod * qpow((kk-1),bb)%mod # 也可以用python自带的pow(a,b,mod)
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