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集合划分问题是使用回溯算法来解决的一类问题。这类问题的抽象描述是：给定 n 个数，让我们划分成 k 组，使得这 k 组的每组数的 sum 一样大。这类问题也有固定的套路思路，学会就行了。
LC 698. 划分为k个相等的子集 【classic，有难度】
我们可以理解为有 k 个桶，我们需要尝试将各个数字分别放入所有桶中，使得每个桶的 sum 都相等。
基本思路就是采用回溯算法，在"做选择"这一步，就是将一个数字分别选择放入各个不同的桶中，这样回溯决策树的第 i 层就是决定将 nums[i] 放入哪个 bucket 中。
但这种基本的回溯就等同于暴力搜索了，在 LeetCode 中提交后会出现超时错误，解决方法就是优化某些步骤，尽可能地剪枝。
数据预处理：计算 target
这一步很重要 。因为我们是让每个 bucket 中的 sum 都相等，那自然每个 bucket 的 sum 就等于 所有数字的加和 / bucket 数量，所以我们先计算出 target，也就是最终每个 bucket 中的所有数字的累加需要达到的目标。
java
int sum = Arrays.stream(sum).sum();
// 如果 sum 不能平分，则直接可以判定找不到答案
if (sum % k != 0) {
return false;
}
int target = sum / k; // 每个 bucket 的累加需要达到的目标通过上面我们计算出了 target，就可以在回溯时提前判断当 bucket 的数字累加超过了 target 时，就可以提前剪枝了。
基本回溯
由此，我们可以写出如下的解决代码：
java
class Solution {
private boolean backtrack(int[] buckets, int target, int[] nums, int k, int level) {
if (level >= nums.length) {
for (int bucket: buckets) {
if (bucket != target) {
return false;
}
}
return true;
}
int num = nums[level];
for (int i = 0; i < k; i++) { // 遍历各个 bucket
int sum = buckets[i] + num; // 如果做出选择后，这个 bucket 的累加和
if (sum > target) { // 如果超出了 target，就提前剪枝
continue;
}
buckets[i] = sum;
boolean ok = backtrack(buckets, target, nums, k, level + 1);
if (ok) {
return true;
}
buckets[i] -= num;
}
return false;
}
public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
int sum = Arrays.stream(nums).sum();
if (sum % k != 0) {
return false;
}
int target = sum / k;
int[] buckets = new int[k];
Arrays.fill(buckets, 0);
return backtrack(buckets, target, nums, k, 0);
}
}这个思路是没问题了，但是很遗憾，还是复杂度过高，超时。
优化 1：跳过某些 bucket 的选择
这里存在一个重要优化：当你做选择想把某个 num 放入一个 bucket 时，如果这个 bucket 的累加和与上一个 bucket 的累加和相同，那把这个 num 放入当前这个 bucket 的结果与放入上一个 bucket 的结果是一样的，上一个选择没有让我们找出答案，那这一次选择也不会让我们找出答案，因此可以直接剪枝跳过。
由此，在上面的代码中，我们可以加入这样一个优化：
这个优化只需要让我们加一个小判断，就能剪掉很多枝。
优化 2：事先对 nums 排序
因为我们会判断当前 bucket 的和是否超过了 target 进而剪枝，那事先对 nums 逆序排序，将大的数字放在前面，就更快地出现剪枝，从而减小复杂度。所以，我们可以在一开始先对 nums 进行逆序排序：
最终代码事先
在基本的回溯代码再加上上面两个优化后，就可以通过 LeetCode 的检测了。最终代码如下：
java
class Solution {
private boolean backtrack(int[] buckets, int target, int[] nums, int k, int level) {
if (level >= nums.length) {
for (int bucket: buckets) {
if (bucket != target) {
return false;
}
}
return true;
}
int num = nums[level];
// 遍历各个 bucket 做选择
for (int i = 0; i < k; i++) {
// 如果当前桶和上一个桶内的元素和相等，则跳过
// 原因：如果元素和相等，那么 nums[index] 选择上一个桶和选择当前桶可以得到的结果是一致的
if (i != 0 && buckets[i] == buckets[i - 1]) {
continue;
}
int sum = buckets[i] + num; // 如果做出选择后，这个 bucket 的累加和
if (sum > target) { // 如果超出了 target，就提前剪枝
continue;
}
buckets[i] = sum;
boolean ok = backtrack(buckets, target, nums, k, level + 1);
if (ok) {
return true;
}
buckets[i] -= num;
}
return false;
}
public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
// 逆序排序 nums
Arrays.sort(nums);
for (int low = 0, high = nums.length - 1; low < high; low++, high--) {
int temp = nums[low];
nums[low] = nums[high];
nums[high] = temp;
}
int sum = Arrays.stream(nums).sum();
if (sum % k != 0) {
return false;
}
int target = sum / k;
int[] buckets = new int[k];
Arrays.fill(buckets, 0);
return backtrack(buckets, target, nums, k, 0);
}
}LC 473. 火柴拼正方形 【练习】
473. 火柴拼正方形 \| LeetCode
这个题目本质上和上个题目一样，可以当作练习。