Logistic Regression 虽然被称为回归，但其实际上是分类模型，并常用于二分类。主要用来表示某件事情发生的可能性，因此因变量的范围在 0 和 1 之间。Logistic Regression 因其简单、可并行化、可解释强深受工业界喜爱。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量就为是否胃癌，值为"是"或"否"，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。
Logistic 回归的本质是：假设数据服从正态分布，使用极大似然估计对模型的参数进行估计。
一、Logistic分布
Logistic分布是一种连续概率分布，常用于建模具有有限范围的随机变量。它具有S形状的概率密度函数，可以用于描述一些自然现象和统计模型中的数据分布。
Logistic分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：
f ( x ) = e − ( x − μ ) / s s ( 1 + e − ( x − μ ) / s ) 2 f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^ {-(x-\mu)/s})^2} f(x)=s(1+e−(x−μ)/s)2e−(x−μ)/s
其中， x x x 是随机变量的取值， μ \mu μ 是分布的均值， s s s 是分布的尺度参数。均值 μ \mu μ表示分布的中心位置，尺度参数 ss 控制分布的形状。
Logistic分布的累积分布函数（CDF）可以表示为：
F ( x ) = 1 1 + e − ( x − μ ) / s F(x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}} F(x)=1+e−(x−μ)/s1
Logistic分布的特点包括：
对称性：Logistic分布是关于均值 μ \mu μ对称的，即分布在均值两侧呈镜像关系。
S形状：Logistic分布的概率密度函数在均值附近增长迅速，然后逐渐趋于平缓。这使得它在建模概率事件的发生概率时非常有用。
尾部厚重：相比于正态分布，Logistic分布的尾部较厚，即在分布的尾部区域概率下降较慢。
二、逻辑回归介绍
对于二分类问题，假设我们有一个数据集，其中包含 m m m个样本。每个样本由输入特征向量 x x x和对应的实际类别 y y y组成。我们希望通过逻辑回归模型来预测样本的类别。
假设存在一条直线（或超平面），可以将数据集中的样本完全分开。我们可以用一个线性模型来表示这条直线，其形式如下：
z = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + ... + θ n x n z = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \ldots + \theta_nx_n z=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
其中， z z z表示线性模型的输出， θ 0 , θ 1 , ... , θ n θ \theta_0, \theta_1, \ldots, \theta_nθ θ0,θ1,...,θnθ 表示模型的参数， x 1 , x 2 , ... , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,...,xn表示输入特征。
为了将线性模型的输出转化为概率值，我们使用逻辑函数（sigmoid函数）进行转换，得到预测的概率。逻辑函数的形式如下：
h θ ( x ) = 1 1 + e − z h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-z}} hθ(x)=1+e−z1
其中， h θ ( x ) h_{\theta}(x) hθ(x)表示逻辑回归模型的预测结果。
为了使得逻辑回归模型能够对样本进行分类，我们需要将预测的概率值映射到类别标签。一般来说，当预测的概率大于等于一个阈值时，我们将样本预测为正类别（例如， h θ ( x ) ≥ 0.5 h_{\theta}(x) \geq 0.5 hθ(x)≥0.5）；当预测的概率小于阈值时，我们将样本预测为负类别。
三 、逻辑回归的代价函数（Cost Function）
逻辑回归的代价函数（Cost Function）用于衡量模型预测结果与实际观测值之间的差异。在逻辑回归中，常用的代价函数是交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）。
假设我们有一个训练集，其中包含mm个样本，每个样本由输入特征向量xx和对应的实际类别yy组成。逻辑回归的目标是通过最小化代价函数来优化模型的参数。
对于二元分类问题，交叉熵损失函数可以表示为：
J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))\right] J(θ)=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
其中， J ( θ ) J(\theta) J(θ)表示代价函数， θ \theta θ表示模型的参数， h θ ( x ) h_{\theta}(x) hθ(x)表示逻辑回归模型的预测结果（即sigmoid函数的输出）， y ( i ) y^{(i)} y(i)表示第 i i i个样本的实际类别。
代价函数的含义可以解释为：对于每个样本，如果实际类别为1，则第一项 y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)})) y(i)log(hθ(x(i)))越大越好；如果实际类别为0，则第二项 ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)})) (1−y(i))log(1−hθ(x(i)))越大越好。通过求和和取平均，我们可以得到整个训练集上的平均代价。
逻辑回归的目标是最小化代价函数，通过调整模型的参数 θ \theta θ来实现。常用的方法是梯度下降（Gradient Descent），通过计算代价函数对参数的偏导数，更新参数以减小代价函数的值。
具体的梯度下降更新规则可以表示为：
θ j : = θ j − α ∂ J ( θ ) ∂ θ j \theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} θj:=θj−α∂θj∂J(θ)
其中， α \alpha α表示学习率，控制参数更新的步长。
通过反复迭代更新参数，直到达到收敛条件（如达到最大迭代次数或代价函数变化不显著），逻辑回归模型就可以得到最优的参数估计。
四、逻辑回归基于sklearn库的python代码实现
当使用scikit-learn库中的逻辑回归模型进行分类任务时，可以按照以下步骤进行操作：
- 1 导入所需的库和模块：
python
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score- 2 加载鸢尾花数据集：
python
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target- 3 划分数据集为训练集和测试集：
python
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)- 4 创建并训练逻辑回归模型：
python
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)- 5 使用训练好的模型进行预测：
python
y_pred = model.predict(X_test)- 6 评估模型性能：
python
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)完整的Python代码如下所示：
python
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
# 划分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
# 使用训练好的模型进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 评估模型性能
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)这段代码中，首先使用load_iris()函数加载鸢尾花数据集，然后使用train_test_split()函数将数据集划分为训练集和测试集。接下来，创建一个LogisticRegression对象作为逻辑回归模型，并使用训练集数据进行训练。然后，使用训练好的模型对测试集进行预测，并使用accuracy_score()函数计算分类准确度作为模型性能的评估指标。
五、逻辑回归的优缺点
- 优点：
- 实现简单，广泛的应用于工业问题上；
- 分类时计算量非常小，速度很快，存储资源低；
- 便利的观测样本概率分数；
- 对逻辑回归而言，多重共线性并不是问题，它可以结合L2正则化来解决该问题；
- 计算代价不高，易于理解和实现；
- 缺点：
-当特征空间很大时，逻辑回归的性能不是很好；
-容易欠拟合，一般准确度不太高
-不能很好地处理大量多类特征或变量；
-只能处理两分类问题（在此基础上衍生出来的softmax可以用于多分类），且必须线性可分；
-对于非线性特征，需要进行转换；
六、总结：
逻辑回归是一种常用的分类算法，适用于二分类问题。它基于线性模型和逻辑函数的组合，将线性模型的输出转化为概率值，并通过设定阈值进行分类预测。逻辑回归模型的训练过程是通过最小化代价函数来优化模型参数，常用的代价函数是交叉熵损失函数。
使用scikit-learn库中的逻辑回归模型进行分类任务的步骤如下：
- 导入所需的库和模块。
- 加载数据集。
- 划分数据集为训练集和测试集。
- 创建并训练逻辑回归模型。
- 使用训练好的模型进行预测。
- 评估模型性能，常用的指标是准确度。
逻辑回归模型具有简单高效、可解释性强和能处理非线性关系等优点。它在许多领域都有广泛的应用，如医学、金融、市场营销等。然而，逻辑回归也存在一些缺点，例如对异常值敏感、处理多分类问题相对困难等。
综上所述，逻辑回归是一种强大的分类算法，通过线性模型和逻辑函数的组合，能够有效地解决二分类问题。在实践中，我们可以使用scikit-learn库中的逻辑回归模型来快速构建和训练模型，并对其性能进行评估。