蓝桥--矩阵翻硬币--二分枚举

问题描述

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m列的矩阵。随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q操作。

对第x行第y列的硬币进行Q操作的定义：将所有第 ix行，第 jy列的硬币进行翻转。其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹------所有硬币均为正面朝上。

小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

【数据格式】

输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

【样例输入】

2 3

【样例输出】

【数据规模】

对于10%的数据，n、m <= 10^3；

对于20%的数据，n、m <= 10^7；

对于40%的数据，n、m <= 10^15；

对于10%的数据，n、m <= 10^1000(10的1000次方)。

==真因子==是指能整除一个给定数但不等于该数本身的因子，只有平方数的真因子个数为奇数

说人话

Q操作：将x的倍数行和y的倍数行反转

一开始反面朝上的硬币数量一定是经历了奇数次反转的那些硬币，即硬币只有被翻动奇数次才会有效果

对于（10，5）处的硬币：行的真因子：（1，10，2，5），列的真因子（1，5），所以一共会被翻4*2次

翻奇数次的前提是：行列真因子之积为奇数，即他们全是平方数，问题转化为寻找矩阵中下标均为平方数的元素个数

Try1 找n以内平方数的个数

cpp 复制代码

def f(n): #运行超时
#   # 返回n以内平方数的个数
#   cnt = 0
#   for i in range(1,n+1):
#     if(n**0.5).is_integer():
#       # 平方数开根号一定为整数
#       cnt+=1
#   return cnt

cpp 复制代码

def f1(n):#通过10%
#   cnt1 =0
#   for i in range(1,n+1):
#     if math.sqrt(i).is_integer():
#       cnt1 += 1
#   return cnt1  
# print(f1(n)*f1(m))

try2由于遍历的数目太大导致超时，所以优化算法，用二分枚举

枚举n以内平方小于n的个数，非平方的因子数是成对出现的，只出现在前半部分，所以mid =（l+r）//2+1（+1是向上取整，防止错过平方数），最终的l代表有几组因子（翻动了几次），由于最终态为全部正面朝上，所以初态正面朝下的个数就是？？？？？

cpp 复制代码

def number(x): #二分枚举 找平方不大于x的个数。100%通过
  left=1    #因为真因子1，a1 b1，a2 b2，。。。k（k为开方数），
  # 所以平方不大于x就表示a1，a2。。这些因子
  right=x
  while left<right:
    mid=(left+right)//2+1 #向上取整 加1是表示看看后一位是否为平方数
    if mid**2>x:
      right=mid-1
    else:
      left=mid
  return left
print(number(n)*number(m))

cpp 复制代码

import os
import sys
import math
# Q操作：将x的倍数行和y的倍数行反转
# 对于（10，5）处的硬币：
# 行的真因子：（1，10，2，5），列的真因子（1，5），所以一共会被翻4*2次
# 真因子是指能整除一个给定数但不等于该数本身的因子，只有平方数的真因子个数为奇数
# 硬币只有被翻动奇数次才会有效果
# 翻奇数次的前提是：行列真因子之积为奇数，即他们全是平方数
# 问题转化为寻找矩阵中下标均为平方数的元素个数
n,m = map(int,input().split())

# def f(n): #运行超时
#   # 返回n以内平方数的个数
#   cnt = 0
#   for i in range(1,n+1):
#     if(n**0.5).is_integer():
#       # 平方数开根号一定为整数
#       cnt+=1
#   return cnt
# def f1(n):#通过10%
#   cnt1 =0
#   for i in range(1,n+1):
#     if math.sqrt(i).is_integer():
#       cnt1 += 1
#   return cnt1  
# print(f1(n)*f1(m))


def number(x): #二分枚举 找平方不大于x的个数。100%通过
  left=1    #因为真因子1，a1 b1，a2 b2，。。。k（k为开方数），
  # 所以平方不大于x就表示a1，a2。。这些因子
  right=x
  while left<right:
    mid=(left+right)//2+1 #向上取整 加1是表示看看后一位是否为平方数
    if mid**2>x:
      right=mid-1
    else:
      left=mid
  return left
print(number(n)*number(m))