基于3Blue1Brown视频的笔记
线性变换（linear tranformation）
首先，什么是变换？变换实际就是函数（function）的一种，它**接受输入，并输出结果。**称之为变换则是在暗示从可视化的角度去看待它。
在线性代数中，我们往往**输入一个向量，输出一个新的向量。**如果一个变换接受一个向量，然后输出一个向量，我们就可以想象这个向量移动到新向量位置的过程。进一步地，我们可以想象整个平面的向量都做这个变换，移动到新的位置，这看起来就是整个平面在变形，变换给了我们扭曲空间的能力。
有非常多美妙而复杂的变换，而线性变换将变换限制为线性：
若一个变换具有以下两个性质，则说它是线性的：
- 所有直线在变换后还是直线
- 原点保持固定
描述线性变换------矩阵
现在的问题是，我们如何描述一个线性变换。也就是给出一定的描述或者操作，使得我们可以对所有向量这么做而得到变换后的新向量。
对于二维平面来说，我们实际上只需要知道基向量
、
的新位置，其他向量都会随之而动。
这是由于线性变换本身的性质，而有一个重要的推论：一个向量如果是另两个向量的线性组合，则经过线性变换后，它仍然是它们相同的线性组合。
比如现在我们在原坐标系有个向量
，这意味着这个向量可以如此表示：
，现在我们知道，变换之后
到了原来
的位置，而
到了原来
的位置，那么我们就可以计算
的变换后的位置是
。
我们只需要记录下新的 、的位置，我们就可以计算空间任意向量变换后到了哪里：对于任意的
，我们通过
来计算。也就是，我们只需要和这两个信息，就可以掌握这个线性变换。
通常我们将它们写在一起：
，称之为矩阵（matrix）。
我们可以将它的两个列理解为两个特殊的向量------新的 、的位置。
现在，如果你有一个2×2矩阵，和一个2维向量，而你想知道这个矩阵描述的线性变换对这个向量的作用，你只需要取出向量的两个坐标，分别数乘矩阵的两个列向量，然后相加即可。我们在书写时把矩阵放在这个向量的左边，就像函数（f(x)）一样。
换成一般形式，就是：
这就是矩阵向量乘法
总结
线性变换是一种操纵空间的手段，它保持网格平行等距分布且原点位置不变。 而这种变换我们只需要用变换后基向量的坐标就可以描述清楚，这些基向量坐标构成的矩阵提供了一种描述线性变换的语言，矩阵乘法就是计算这种线性变换作用的一个手段。