数据结构 之 树

树

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树的定义:

树是一种数据结构，它是由n (n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做"树"是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

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树的特点：

• 每个节点有0或多个子节点
• 没有父节点的节点是根节点
• 每个非根节点只有一个父节点
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

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树的术语：

1. 结点的度:结点拥有的子树的数目。
2. 叶子:度为零的结点。
3. 分支结点:度不为零的结点。
4. 树的度:树中结点的最大的度。
5. 层次:根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的父亲结点的层次加1。
6. 树的高度:树中结点的最大层次。
7. 无序树:如果树中结点的各子节点之间的次序是不重要的，可以交换位置。
8. 有序树:如果树中结点的各子树之间的次序是重要的,不可以交换位置。
9. 森林:0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树;删去根，树即成为森林。

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【注】树拆成森林->将根节点去掉 森林变成树->加一个根节点

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二叉树

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二叉树的定义:

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。如下图:

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二叉树的性质:

• 第I层上的节点数目 最多为 2^(i-1) (i>=1)
• 深度为k的二叉树至少有2^-1个节点 (k>=1)
• 包含n个节点的二叉树高度 至少为log2(n+1)
• 在任意一颗二叉树中，若叶子节点的个数为n0,度为2的节点数为n2，则n0=n2+1

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满二叉树

如果一棵树每一层的节点的个数都达到了最大值，那么这棵树是满二叉树。如下图:

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完全二叉树

定义：

一棵工叉树中，只有最下面两层 结点的度可以小于2 ，并且最下一层 的叶 结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。如下图:

特点:

叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

【注】堆结构是完全二叉树

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二叉搜索树

定义:

二叉搜索树又叫二叉查找树，其中每个节点都有一个键标识该节点唯一，并且每个键大于左子树上任意节点的键，小于右子树上任意节点的键。

特点:

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
• 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。

创建树的代码：

Tree.h

#pragma once
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
struct Node
{
	int val;//不能重复
	Node* left;
	Node* right;
	Node(int val)
	{
		this->val = val;
		left = nullptr;
		right = nullptr;
	}
};

class Tree {
public:
	Tree(vector<int>& vec);
	Node* root;
	void In(Node* root) 
	{
		if (!root)return;
		In(root->left);
		cout << root->val << ""; 
		In(root->right);
	}
};

Tree.cpp

#include "Tree.h"
Tree::Tree(vector<int>& vec)
{
	root = new Node(vec[0]);
	for (int i = 1; i < vec.size(); i++)
	{
		Node* node = new Node(vec[i]);//要放入树中的节点
		Node* p = root; //p是用来判断node放在哪的
		while (1)
		{
			if (p->val > vec[i])
			{
				if (p->left == nullptr)
				{
					p->left = node; break;
				}
				p = p->left;
			}
			if (p->val < vec[i]) {
				if (p->right == nullptr) {
					p->right = node; break;
				}
				p = p->right;
			}
			if (p->val == vec[i]) {
				delete node; break;
			}
		}
	}
}

main.cpp

#include"Tree.h"
int main()
{
	vector<int> vec = { 7,5,4,6,11,9,10 }; 
	Tree t(vec);
	t.In(t.root);
}