C++——红黑树

Forward♞2024-03-31 18:40

红黑树

注：在学习红黑树之前，建议先对AVL树具备一定的了解

1. 红黑树的性质

和AVL树一样，红黑树也是一棵自平衡的搜索二叉树

如上图，就是一棵经典的红黑树，以下是他的性质：

  1. 红黑树同样是一棵搜索二叉树，其满足搜索二叉树的所有性质：

  • 每个节点的左右子树都是一棵搜索二叉树

  • 左孩子的键值比父亲的小；右孩子的键值比父亲的大

  1. 红黑树的每个节点的左右子树也都是红黑树

  2. 红黑树的每个节点都有一个颜色，且要么是红色要么是黑色 ；空节点被视作黑色节点

  3. 红黑树的根节点的颜色必须是黑色

  4. 红黑树每条路径的黑色节点个数必须相等

  5. 红黑树的红色节点不能连续出现

由性质5和性质6，我么可以推导出红黑树的平衡特性：

红黑树的最长路径的长度不会超过最短路径的两倍

2. 了解操作

2.1 红黑树节点类的定义：

cpp 复制代码 
//定义一个枚举类，用于表示颜色
enum Color
{
	RED,
	BLACK
};

//默认该红黑树的存储模型为key_value型
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;

	Node* _parent = nullptr;
	Node* _left = nullptr;
	Node* _right = nullptr;
	pair<K, V> _kv;
	Color _color = RED;	//节点默默的颜色为红色

	RBTreeNode(const pair<K, V> kv)
		: _kv(kv)
	{}
};

2.2 插入节点

2.1.1 找到插入位置

既然红黑树也是一棵搜索二叉树，那么在插入新节点之前，首先肯定也要找到插入位置：

cpp 复制代码 
bool insert(const pair<K, V> kv)
{
    //如果原来是一棵空树
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        _root->_color = BLACK;
        return true;
    }

    //找到插入位置
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur)
    {
        parent = cur;

        if (cur->_kv.first > kv.first)
            cur = cur->_left;
        else if (cur->_kv.first < kv.first)
            cur = cur->_right;
        else
            return false;
    }

    cur = new Node(kv);
    cur->_parent = parent;
    if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
        parent->_right = cur;
    else
        parent->_left = cur;

    //........................
}

2.1.2 新节点颜色

红黑树的每个节点的颜色要么是红色，要么是黑色，那么我们新插入的节点应该是什么颜色？红色，还是黑色，还是红色黑色都可能呢？

我么可以进行假设：

假设新节点的颜色是黑色，如下图：

可以看到，如论黑色节点插入到哪个位置，红黑树的条件都会被打破

  • 这是因为：插入之前就是一棵红黑树，那么每条路径的黑色节点个数就一定相同
  • 此时在任意位置插入一个黑色节点，就肯定会使一条路径的黑色节点个数多余其他路径，从而破坏红黑树的条件

可见，如果新节点的颜色是黑色，我们是很难在插入后将其还原到满足红黑树的条件的

假设新节点的颜色是红色，如下图：

从图中可以看到：

  • 如果父节点的颜色是黑色，那么插入一个红色节点并不会破坏红黑树的条件
  • 如果父节点的颜色是红色，那么就会出现"出现连续红色节点"的情况，需要做出调整

总结：

  • 虽然插入黑色节点和红色节点都可能会导致红黑树的条件被破坏，但是相较于插入黑色节点必定会破坏红黑树的条件，插入红色节点只会在其父节点也是红色时才会破坏红黑树的条件
  • 因此，插入红色节点代价更小 ，即新节点的颜色默认为红色

接下来，我们就来分析父节点为红色或黑色时的不同插入情况

注意：

红黑树的形态无穷无尽，博主不可能将每种红黑树的插入情况都列举出来

但是，这些所有的情况都可以被分为父节点为黑色和父节点为红色这两类

博主在后面的分析会以一棵具体的红黑树来做示例，讲述节点的插入和后续颜色的调整。至于其他形态的红黑树，只要插入时的情况被归类为某一特定的情况，都可以用相同的方法处理，大家学会处理方法即可

2.1.3 父节点为黑色

插入新节点之前该树就是一棵红黑树，如果新节点的父节点的颜色是黑色，那么插入一个红色节点并不会影响到红黑树的条件

  • 红色节点没有连续出现
  • 每条路径的黑色节点个数仍然相等

因此，如果新节点的父节点为黑色，插入流程结束

2.1.4 父节点为红色

如果父节点的颜色为红色，那么就要分叔叔节点为红色 以及叔叔节点不存在/叔叔节点为黑色这两种情况来讨论

注意：

以下涉及关于旋转的操作均已在AVL树中提及，下面只会讲述大概的步骤，并提供代码，不会做详细讲解

2.1.4.1 叔叔节点为红色

此时，为了使红色节点不连续出现，并且保持每条路径的黑色节点个数相等，我们需要对部分节点的颜色进行调整：

爷爷节点的颜色改为红色

叔叔节点和父节点的颜色改为黑色

调节过后，如果爷爷节点的父亲仍为红色，则要继续向上调节

需要注意，上图中的爷爷节点就是整棵树的根节点，而规定红黑树的根节点是黑色 的，因此调整完过后需要注意将根节点改为黑色

2.1.4.2 叔叔节点不存在/叔叔节点为黑色

在向上调整的过程中，我们可能会遇到叔叔节点不存在或者叔叔节点为黑色的情况：

此时，我们不能像叔叔节点为红色的情况一样，简单的将父节点变黑，爷爷节点变红来解决问题：

针对这种情况，我们需要根据parent节点相对grandparent的位置以及cur节点相对parent节点的位置，通过旋转来解决问题：

2.1.4.2.1 父节点parent为爷爷节点grandparent的左

情况一：cur为parent的左

如图：

此时，我们需要对grandparnet节点进行右单旋操作：

  • 将parent的右孩子链接给grandparent的左孩子

  • 将grandparent链接给parent的右孩子

最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：

  • grandparent的颜色红
  • parnet的颜色变黑

对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：

调整完毕

需要清楚的是

  • 调整后和插入节点前相比，该树每条路径的黑色节点的总个数并没有被改变 ，并且新的根为黑色

  • 如果该树是其他树的子树，尽管插入了一个节点，但是经过旋转调整过后并不会影响到其他节点，因此可以直接结束插入过程

情况二：cur为parent的右：

如图：

此时，我们需要对grandparent进行左右双旋操作：

  • 首先对parent进行左单旋
  • 再对grandparent进行右单旋

最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：

  • cur的颜色变黑
  • grandparent的颜色变红

对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：

调整完毕

同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程

2.1.4.2.2 父节点parent为爷爷节点grandparent的右

情况一：cur为parent的右

如图：

此时，我们需要对grandparnet节点进行左单旋操作：

  • 将parent的左孩子链接给grandparent的右孩子

  • 将grandparent链接给parent的左孩子

最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：

  • grandparent的颜色红
  • parnet的颜色变黑

对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：

调整完毕

同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程

情况二：cur为parent的左：

如图：

此时，我们需要对grandparent进行右左双旋操作：

  • 首先对parent进行右单旋
  • 再对grandparent进行左单旋

最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：

  • cur的颜色变黑
  • grandparent的颜色变红

对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：

调整完毕

同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程

2.1.4.3 旋转操作

左单旋：

旋转步骤为：

  • cur的左子树链接给parent的右子树
  • parent链接给cur的左子树

代码：

cpp 复制代码 
void rotateL(Node* parent)
{
    Node* pparent = parent->_parent;
    Node* parentR = parent->_right;
    Node* parentRL = parentR->_left;

    parent->_right = parentRL;

    //考虑cur->_left为空的情况，防止空节点的访问
    if (parentRL)
        parentRL->_parent = parent;

    parentR->_left = parent;
    parentR->_parent = pparent;
    parent->_parent = parentR;

    //如果cur就是_root根节点，那么就要更新根节点
    if (pparent == nullptr)
        _root = parentR;
    else	//否则就要将新的根（即cur）链接给上级节点
    {
        if (parent == pparent->_left)
            pparent->_left = parentR;
        else
            pparent->_right = parentR;
    }
}

右单旋：

旋转步骤为：

  • cur的右子树链接给parent的左子树
  • parent链接给cur的右子树

代码：

cpp 复制代码 
void rotateR(Node* parent)
{
    Node* pparent = parent->_parent;
    Node* parentL = parent->_left;
    Node* parentLR = parentL->_right;

    parent->_left = parentLR;

    //考虑cur->_right为空的情况
    if (parentLR)
        parentLR->_parent = parent;

    parentL->_right = parent;
    parent->_parent = parentL;
    parentL->_parent = pparent;

	//如果cur就是_root根节点，那么就要更新根节点
    if (pparent == nullptr)
        _root = parentL;
    else	//否则就要将新的根（即cur）链接给上级节点
    {
        if (parent == pparent->_left)
            pparent->_left = parentL;
        else
            pparent->_right = parentL;
    }
}

左右双旋：

旋转步骤为：

  • 先对cur为根的树进行左单旋
  • 再对parent为根的树进行右单旋

代码：

cpp 复制代码 
void rotateLR(Node* parent)
{
    Node* parentL = parent->_left;	//即图中的cur节点
    Node* parentLR = parentL->_right;	//即图中的parentLR节点

    rotateL(parentL);	//先对cur为根的树进行左单旋
    rotateR(parent);	//再对parent为根的树进行右单旋
}

右左双旋：

操作步骤为：

  • 先对cur为根的树进行右单旋
  • 再对parent为根的树进行左单旋

代码：

cpp 复制代码 
void rotateRL(Node* parent)
{
    Node* parentR = parent->_right;	//即为图中提到的cur节点
    Node* parentRL = parentR->_left;	//即为图中提到的parentRL节点

    rotateR(parentR);	//先对cur为根的树进行右单旋
    rotateL(parent);	//再对parent为根的树进行左单旋
}

2.1.5 插入节点代码

cpp 复制代码 
bool insert(const pair<K, V> kv)
{
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        _root->_color = BLACK;
        return true;
    }

    //找到插入位置
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur)
    {
        parent = cur;

        if (cur->_kv.first > kv.first)
            cur = cur->_left;
        else if (cur->_kv.first < kv.first)
            cur = cur->_right;
        else
            return false;
    }

    cur = new Node(kv);
    cur->_parent = parent;
    if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
        parent->_right = cur;
    else
        parent->_left = cur;

    //更新颜色，调节平衡
    while (parent && parent->_color != BLACK)
    {
        Node* grandparent = parent->_parent;
		
        //如果父节点为爷爷节点的左
        if (parent == grandparent->_left)
        {
            Node* uncle = grandparent->_right;
			
            //如果叔叔存在且叔叔节点为红色
            if (uncle && uncle->_color == RED)
            {
                parent->_color = BLACK;
                uncle->_color = BLACK;
                grandparent->_color = RED;
				
                //继续向上调整
                cur = grandparent;
                parent = grandparent->_parent;
            }
            else	//如果叔叔节点不存在或叔叔节点为黑色
            {
                //如果cur为父节点的左，就进行右单旋
                if (cur == parent->_left)
                {
                    rotateR(grandparent);

                    grandparent->_color = RED;
                    parent->_color = BLACK;
                }
                else	//如果cur为父节点的右，就进左右双旋
                {
                    rotateLR(grandparent);
                    cur->_color = BLACK;
                    grandparent->_color = RED;
                }

                break;	//旋转过后必定满足红黑树条件，直接结束插入
            }
        }
        else	//如果父节点为爷爷节点的右
        {
            Node* uncle = grandparent->_left;
			
            //如果叔叔存在且叔叔节点为红色
            if (uncle && uncle->_color == RED)
            {
                parent->_color = BLACK;
                uncle->_color = BLACK;
                grandparent->_color = RED;
				
                //继续向上调整
                cur = grandparent;
                parent = grandparent->_parent;
            }
            else	//如果叔叔节点不存在或叔叔节点为黑色
            {
                //如果cur为父节点的右，就进行左单旋
                if (cur == parent->_right)
                {
                    rotateL(grandparent);

                    grandparent->_color = RED;
                    parent->_color = BLACK;
                }
                else	//如果cur为父节点的左，就进右左双旋
                {
                    rotateRL(grandparent);
                    cur->_color = BLACK;
                    grandparent->_color = RED;
                }

                break;	//旋转过后必定满足红黑树条件，直接结束插入
            }
        }
    }

    _root->_color = BLACK;	//直接将根节点的颜色设置为黑色

    return true;
}

2.3 检查一棵树是否为红黑树

为了验证我们的插入算法是否正确，我们需要写一个isbalance函数来进行检验：

我么可以根据红黑树的两个性质来实现这个函数；

  1. 红色节点不能重复出现

  2. 每条路径的黑色节点个数相同

对于第一个性质：

  • 容易想到的一个方法是：递归遍历这棵树，每遍历到一个节点，就检查该节点是否和它的左孩子或者右孩子同时为红色
  • 但是，上面的方法书写起来较为复杂。我们可以换一种思路：每遍历到一个节点，就检查它和它的父节点是否同时为红色

对于第二个性质：

  • 我们需要求出每条路径的黑色节点的个数
  • 而所谓路径，就是从根节点出发，到达空节点所经过的节点
  • 因此，我们可以利用一个参数来记录遍历到当前节点时黑色节点的总个数
  • 为了方便比较，我么可以预先求出一条路径的黑色节点总个数 作为基准值
  • 之后，当遍历到空节点时，就可以拿记录黑色节点个数的参数与基准值进行比较了

实现代码；

cpp 复制代码 
bool isBalance()
{
    if (_root && _root->_color != BLACK)
        return false;
	
    //以最左路径的黑色节点纵作为基准值
    int refBlackNum = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_color == BLACK)
            refBlackNum++;

        cur = cur->_left;
    }

    return cheak(_root, 0, refBlackNum);
}
bool cheak(Node* root, int curBlackNum, int refBlackNum)
{
    //如果遍历到空节点就要拿curBlackNum与基准值refBlackNum进行比较
    if (root == nullptr)
    {
        if (curBlackNum == refBlackNum)
            return true;
        else
        {
            cout << root->_kv.first << "改路径黑色节点的数量与最左路径黑色节点数量不同" << endl;
            return false;
        }
    }
	
    //如果当前节点和父节点同时为红色，则不满足红黑树条件
    if (root->_color == RED && root->_parent->_color == RED)
    {
        cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
        return false;
    }
	
    //如果当前节点为黑色，则当前路径的黑色节点个数加1
    if (root->_color == BLACK)
        curBlackNum++;

    return cheak(root->_left, curBlackNum, refBlackNum) && cheak(root->_right, curBlackNum, refBlackNum);
}

2.4 AVL树与红黑树

如今，我们已经学习了两颗自平衡的搜索二叉树：AVL树与红黑树

现在，我们来对二者进行一个简单的对比：

AVL树规定：每个节点的左右子树的高度差不大于1

红黑树的性质决定：最长路径的长度不大于最短路径的两倍

从上面的两个特性我们可以得出两个结论：

  1. AVL树的平衡条件比红黑树更加严格，因此AVL树也比红黑树更加平衡 。就查找效率来说，AVL树是要比红黑树略高的 。但是，由于二者都是平衡搜索二叉树，查找特定的元素的时间复杂度都是O(logN)
  2. 由于AVL树的平衡条件比红黑树要更加严格，因此维护其平衡也会更加复杂 ，同样是要删除或者插入一个元素，AVL树往往会比红黑树经历更多的旋转操作，这也就导致了在插入和删除元素的效率上，AVL树是不及红黑树的

可以做出总结：

  • 如果需要频繁的查找树中的元素，而插入和删除元素的操作相对较少，可以优先使用AVL树
  • 如果需要频繁的插入或删除元素，而查找元素的次数相对较少，可以优先使用红黑树

事实上，我们后面将学到的关联式容器map和set的底层结构就是红黑树

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