2024.2.1力扣每日一题——数字游戏

2024.02.01

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    • 我的题解
    • • [方法一 对顶堆](#方法一 对顶堆)

题目来源

力扣每日一题；题序：LCP 24

我的题解

方法一 对顶堆

主要思想：将区间 [0，i]范围内的数字操作成相同的数字的最小操作数，等于将区间 [0，i]范围内的数字操作成它们的中位数所需要的操作数。
具体实现 ：参考官方题解

分别使用两个优先队列 lower和 upper 来保存 [0，i]内的数字，同时使用 lowerSum 和 upperSum 分别保存两个优先队列的元素和，这两个优先队列中的元素满足以下两个条件：

1. 优先队列 lower保存的任一元素都小于等于优先队列 upper保存的任一元素；
2. 优先队列 lower 的元素数目 n l o w e r n_{lower} nlower与优先队列 upper的元素数目 n upper n_\textit{upper} nupper 满足 n upper n_\textit{upper} nupper ≤ n l o w e r n_{lower} nlower≤ n upper+1 n_\textit{upper+1} nupper+1

遍历数组 nums，假设当前遍历到元素 nums[i]，考虑如何将元素 nums[i]加入优先队列，同时不违反以上条件。首先如果 lower 为空或 nums[i] 小于 lower 的最大元素，那么将 nums[i] 加入 lower，更新 lowerSum，否则将 nums[i] 加入 upper 中，更新 upperSum，此时条件 1依旧满足。然后我们需要调整优先队列的元素数目关系，以满足条件 2：

• 如果 n l o w e r n_{lower} nlower> n upper n_\textit{upper} nupper，那么将 lower 的最大值移动到 upper，同时更新 lowerSum 和 upperSum。
• 如果 n n l o w e r n_{lower} nlower< n upper n_\textit{upper} nupper，那么将 upper 的最小值移动到 lower，同时更新 lowerSum 和 upperSum。

那么：

• 当 i+1 为偶数时，令中位数为 ttt，那么有 max⁡(lower)≤t≤min⁡(upper)，从而 res i = ∑ j = 0 i ∣ nums [ j ] − t ∣ = upperSum − lowerSum \textit{res}i = \sum{j=0}^{i}|\textit{nums}[j] - t| = \textit{upperSum} - \textit{lowerSum} resi=∑j=0i∣nums[j]−t∣=upperSum−lowerSum。
• 当 i+1 为奇数时，中位数 t=max⁡(lower)， res i = ∑ j = 0 i ∣ nums [ j ] − t ∣ = upperSum − lowerSum + max ⁡ ( lower ) \textit{res}i = \sum{j=0}^{i}|\textit{nums}[j] - t| = \textit{upperSum} - \textit{lowerSum} + \max(\textit{lower}) resi=∑j=0i∣nums[j]−t∣=upperSum−lowerSum+max(lower)。

最后返回结果数组 res即可。
时间复杂度 ：O(nlogn), 其中 n 是数组 nums 的长度。优先队列入队、出队都需要 O(log⁡n)的时间，总共需要 O(nlog⁡n) 的时间。
空间复杂度：O(n)

public int[] numsGame(int[] nums) {
     int n=nums.length;
     int[] res=new int[n];
     int MOD=1000000007;
     //大顶堆
     PriorityQueue<Integer> lower=new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
     //小顶堆
     PriorityQueue<Integer> upper=new PriorityQueue<>((a,b)->a-b);
     long lowerSum=0;
     long upperSum=0;

     for(int i=0;i<n;i++){
         // 将区间 [0，i]范围内的数字操作成相同的数字的最小操作数，
         // 等于将区间 [0，i]范围内的数字操作成它们的中位数所需要的操作数。
         int t=nums[i]-i;
         if(lower.isEmpty()||t<=lower.peek()){
             lowerSum+=t;
             lower.offer(t);
             if(lower.size()>upper.size()+1){
                 int p=lower.poll();
                 upperSum+=p;
                 lowerSum-=p;
                 upper.offer(p);
             }
         }else{
             upperSum+=t;
             upper.offer(t);
             if(lower.size()<upper.size()){
                 int p=upper.poll();
                 upperSum-=p;
                 lowerSum+=p;
                 lower.offer(p);
             }
         }
         if((i+1)%2==0){
             res[i]=(int)((upperSum-lowerSum)%MOD);
         }else{
             res[i]=(int)((upperSum-lowerSum+lower.peek())%MOD);
         }
     }
     return res;
 }

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