1. 马尔可夫矩阵
例子
A = [ . 1 . 001 . 3 . 2 . 099 . 3 . 7 0 . 4 ] A= \begin{bmatrix} .1 & .001 & .3\\ .2 & .099 & .3\\ .7 & 0 & .4 \end{bmatrix} A= .1.2.7.001.0990.3.3.4
马尔可夫矩阵满足条件
- λ = 1 为特征值 \lambda=1为特征值 λ=1为特征值
- 其他特征值 ∀ ∣ λ i ∣ < 1 \forall |\lambda_i| \lt1 ∀∣λi∣<1
- ∀ a i j ≥ 0 , ∀ ∑ i = 0 n a i k = 1 \forall a_{ij} \ge 0, \forall \sum_{i=0}^{n}a_{ik}=1 ∀aij≥0,∀∑i=0naik=1
为什么 λ = 1 \lambda=1 λ=1一定为其特征值
A − I = [ − . 9 . 001 . 3 . 2 − . 001 . 3 . 7 0 − . 6 ] A-I= \begin{bmatrix} -.9 & .001 & .3\\ .2 & -.001 & .3\\ .7 & 0 & -.6 \end{bmatrix} A−I= −.9.2.7.001−.0010.3.3−.6
把所有非第一行加到第一行，可以把第一行变为全 0 0 0。
所以矩阵 A − I A-I A−I为奇异矩阵。
也就是向量 ( 1 , 1 , 1 ) ∈ N ( ( A − I ) ⊤ ) (1,1,1) \in N((A-I)^{\top}) (1,1,1)∈N((A−I)⊤)，即 λ = 1 \lambda=1 λ=1是 A ⊤ A^{\top} A⊤的一个特征值。
引入
A ⊤ 与 A A^{\top}与A A⊤与A有相同的特征值，当 A A A为方阵时。
d e t A = d e t A ⊤ d e t A − λ I = d e t ( A − λ I ) ⊤ = d e t A ⊤ − λ I d e t A − λ I = d e t A ⊤ − λ I det\ A=det\ A^{\top}\\ det\ A-\lambda I=det (A-\lambda I)^\top=det\ A^{\top}-\lambda I\\ det\ A-\lambda I=det \ A^{\top}-\lambda I det A=det A⊤det A−λI=det(A−λI)⊤=det A⊤−λIdet A−λI=det A⊤−λI
对于 d e t A − λ I = 0 与 d e t A ⊤ − λ I = 0 det\ A- \lambda I=0与det A^{\top}-\lambda I=0 det A−λI=0与detA⊤−λI=0
可以将他们化为相同的主对角线的形式，即关于 λ \lambda λ的 n n n阶多项式。
所以他们的特征值相同。
对 A A A化为 R R R形式的行变化，可以同样对 A ⊤ A^{\top} A⊤施行列变换为 L L L。
且 L = R ⊤ L=R^{\top} L=R⊤。
所以 λ = 1 \lambda=1 λ=1是马尔可夫矩阵的一个特征向量。
1.1 应用
预测
u k + 1 = A u k u_{k+1}=Au_k uk+1=Auk
人口迁移
假设某一时间内， c c c州到 d d d州人口迁移组成。
A = [ 0.9 0.2 0.1 0.8 ] A=\begin{bmatrix} 0.9 & 0.2\\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix} A=[0.90.10.20.8]
给定初值 c d c \ d c d州人口初值，我们则可以预测未来变化。
u c u d \] = \[ 0 1000 \] \\begin{bmatrix} u_{c}\\\\u_{d} \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} 0\\\\1000 \\end{bmatrix} \[ucud\]=\[01000
λ 1 = 1 , λ 2 = 0.7 \lambda_1=1,\lambda_2=0.7 λ1=1,λ2=0.7
特征向量
X 1 = [ 2 1 ] X 2 = [ 1 − 1 ] X_1=\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} X_2=\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} X1=[21]X2=[1−1]
稳态方程
u k = c 1 × 1 k [ 2 1 ] + c 2 × ( 0.7 ) k [ − 1 1 ] u_k=c_1\times 1^k\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\times (0.7)^k\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} uk=c1×1k[21]+c2×(0.7)k[−11]
由于
u 0 = [ 0 1000 ] u_0=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix} u0=[01000]
可以求得
c 1 = 1000 / 3 , c 2 = 2000 / 3 c_1=1000/3,c_2=2000/3 c1=1000/3,c2=2000/3
再根据公式即可预测 k k k年后人口状况了。
2. 傅里叶级数
2.1 标准正交基的投影
给定空间 R n R^n Rn上的一组标准正交基
q 1 , q 2 ⋯ q n q_1,q_2 \cdots q_n q1,q2⋯qn
∀ 向量 V 可被表示为 v = ∑ i = 1 n x i q i \forall 向量 V可被表示为\\ v=\sum_{i=1}^{n}x_iq_i ∀向量V可被表示为v=i=1∑nxiqi
如何快速求得 x i x_i xi
q i ⊤ v = [ 0 0 ⋯ x i ⋯ 0 ] q_i^{\top}v=[0\ 0\cdots x_i\ \cdots0] qi⊤v=[0 0⋯xi ⋯0]
矩阵形式
Q X = V X = Q − 1 V = Q ⊤ V x i = q i ⊤ V QX=V\\ X=Q^{-1}V=Q^{\top}V\\ x_i=q_i^{\top}V QX=VX=Q−1V=Q⊤Vxi=qi⊤V
傅里叶级数
f ( x ) = a 0 + a 1 cos x + a 2 sin x + a 3 cos 2 x + ⋯ f ( x ) = f ( x + 2 π ) f(x)=a_0+a_1\cos x+a_2\sin x+a_3\cos2x+\cdots \\ f(x)=f(x+2\pi) f(x)=a0+a1cosx+a2sinx+a3cos2x+⋯f(x)=f(x+2π)
向量点积
v ⊤ w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + ⋯ + v n w n v^{\top}w=v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n v⊤w=v1w1+v2w2+⋯+vnwn
函数内积( i n n e r p r o d u c t inner\ product inner product)
f ⊤ g = ∫ 0 2 π f ( x ) g ( x ) d x f^{\top}g=\int_{0}^{2\pi}f(x)g(x)dx f⊤g=∫02πf(x)g(x)dx