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一、逆矩阵的定义、性质和求法
定义7 对于 n n n阶矩阵A，如果有一个 n n n阶矩阵B，使
A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
定理1 若矩阵A可逆，则 ∣ A ∣ ≠ 0 \vert A\vert \not = 0 ∣A∣=0
证明： A 可逆，即有 A − 1 ，使得 A A − 1 = E ∣ A A − 1 ∣ = ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 ∴ ∣ A ∣ ≠ 0 证明：\\ A可逆，即有A^{-1}，使得AA^{-1}=E\\ |AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1\\ \therefore |A|\not=0 证明：A可逆，即有A−1，使得AA−1=E∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1∴∣A∣=0
定理2 若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\not=0 ∣A∣=0，则矩阵A可逆，且
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗其中 A ∗ A^{*} A∗为矩阵A的伴随矩阵。
证明： 由例 10 知 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ∵ ∣ A ∣ ≠ 0 ∴ A A ∗ ∣ A ∣ = A ∗ ∣ A ∣ A = E 按逆矩阵的定义，有矩阵 A 可逆，且 A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ 证明：\\ 由例10知\\ AA^{*}=A^{*}A=|A|E\\ \because |A|\not=0\\ \therefore A\frac{A^{*}}{|A|}=\frac{A^{*}}{|A|}A=E\\ 按逆矩阵的定义，有矩阵A可逆，且\\ A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|} 证明：由例10知AA∗=A∗A=∣A∣E∵∣A∣=0∴A∣A∣A∗=∣A∣A∗A=E按逆矩阵的定义，有矩阵A可逆，且A−1=∣A∣A∗
当 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0时，A称为奇异矩阵。哟路上面两定理知：A是可逆矩阵的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\not=0 ∣A∣=0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论 若 A B = E ( 或者 B A = E ) ，则 B = A − 1 AB=E(或者BA=E)，则B=A^{-1} AB=E(或者BA=E)，则B=A−1
逆矩阵满足下述运算规律：
- 若A可逆，则 A − 1 A^{-1} A−1亦可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A;
- 若A可逆，输入 λ ≠ 0 \lambda\not=0 λ=0，则 λ A \lambda A λA可逆，且 ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)−1=λ1A−1
- 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
- 若A可逆，则 A T A^{T} AT可逆，且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} (AT)−1=(A−1)T
当A可逆时，还可定义
A 0 = E , A − k = ( A − 1 ) k A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^k A0=E,A−k=(A−1)k
其中k为正整数，这样当A可逆 λ , μ \lambda,\mu λ,μ为整数时，有
A λ A μ = A λ + μ , ( A λ ) μ = A λ μ A^{\lambda}A^{\mu}=A^{\lambda+\mu},(A^{\lambda})^{\mu}=A^{\lambda\mu} AλAμ=Aλ+μ,(Aλ)μ=Aλμ
例11 求二阶矩阵
A = ( a b c d ) A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} A=(acbd)
的逆矩阵。
解： ∣ A ∣ = a d − b c A ∗ = ( d − b − c a ) 当 ∣ A ∣ ≠ 0 使 , A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c ( d − b − c a ) 解：\\ |A|=ad-bc\\ A*=\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}\\ 当|A|\not=0使, A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\\ =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} 解：∣A∣=ad−bcA∗=(d−c−ba)当∣A∣=0使,A−1=∣A∣1A∗=ad−bc1(d−c−ba)
二、逆矩阵的初步应用
可逆矩阵在线性代数中占有重要的地位，它的应用是多方面的，下面举几个例子。
例13 设
A = ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) , B = ( 2 1 5 3 ) , C = ( 1 3 2 0 3 1 ) A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&1\\ 3&4&3\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 2&1\\ 5&3\\ \end{pmatrix} ,C=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix}\\ A= 123224313 ,B=(2513),C= 123301
求矩阵X使其满足 A X B = C AXB=C AXB=C
解： 若 A − 1 , B − 1 存在，则 C = A A − 1 C B − 1 B 有 X = A − 1 C B − 1 ∣ A ∣ = 2 , ∣ B ∣ = 1 , 所以 A − 1 , B − 1 存在 A − 1 = ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) , B − 1 = ( 3 − 1 − 5 2 ) X = A − 1 C B − 1 = ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) ( 1 3 2 0 3 1 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) = ( 1 1 0 − 2 0 2 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) = ( − 2 1 10 − 4 − 10 4 ) 解：\\ 若A^{-1},B^{-1}存在，则\\ C=AA^{-1}CB^{-1}B\\ 有X=A^{-1}CB^{-1}\\ |A|=2,|B|=1,所以A^{-1},B^{-1}存在\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,B^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ X=A^{-1}CB^{-1}= \begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&-2\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -2&1\\ 10&-4\\ -10&4\\ \end{pmatrix} 解：若A−1,B−1存在，则C=AA−1CB−1B有X=A−1CB−1∣A∣=2,∣B∣=1,所以A−1,B−1存在A−1= 1−2313−31−225−1 ,B−1=(3−5−12)X=A−1CB−1= 1−2313−31−225−1 123301 (3−5−12)= 1001−22 (3−5−12)= −210−101−44
例14 设
P = ( 1 2 1 4 ) , Λ = ( 1 0 0 2 ) , A P = P Λ , 求 A n P=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda,求A^n P=(1124),Λ=(1002),AP=PΛ,求An
解 : ∣ P ∣ = 2 p − 1 = 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) A = P Λ P − 1 , A 2 = P Λ P − 1 P Λ P − 1 = P Λ 2 P − 1 , ⋯ , A n = P Λ n P − 1 Λ = = ( 1 0 0 2 ) , Λ 2 = = ( 1 0 0 2 2 ) , ⋯ , Λ n = ( 1 0 0 2 n ) A n = P Λ n P − 1 = ( 1 2 1 4 ) ( 1 0 0 2 n ) 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) = ( 2 − 2 n 2 n − 1 2 − 2 n + 1 2 n + 1 − 1 ) 解:\\ |P|=2\\ p^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^2 P^{-1},\cdots,A^{n}=P\Lambda^{n} P^{-1}\\ \Lambda==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,\Lambda^2==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^2 \end{pmatrix} ,\cdots,\Lambda^n=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix}\\ A^n=P\Lambda^n P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 2-2^n&2^n-1\\ 2-2^{n+1}&2^{n+1}-1\\ \end{pmatrix}\\ 解:∣P∣=2p−1=21(4−1−21)A=PΛP−1,A2=PΛP−1PΛP−1=PΛ2P−1,⋯,An=PΛnP−1Λ==(1002),Λ2==(10022),⋯,Λn=(1002n)An=PΛnP−1=(1124)(1002n)21(4−1−21)=(2−2n2−2n+12n−12n+1−1)
设 ϕ ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m 为 x 的 m \phi(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m为x的m ϕ(x)=a0+a1x+⋯+amxm为x的m次多项式，A为 n n n阶矩阵，记
ϕ ( A ) = a 0 E + a 1 A + ⋯ + a m A m \phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m ϕ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm
ϕ ( A ) \phi(A) ϕ(A)为矩阵A的m次多项式。
矩阵 A k 、 A l 和 E A^k、A^l和E Ak、Al和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式 ϕ ( A ) 和 f ( A ) \phi(A)和f(A) ϕ(A)和f(A)也是可交换的，即总有
ϕ ( A ) f ( A ) = f ( A ) ϕ ( A ) \phi(A)f(A)=f(A)\phi(A) ϕ(A)f(A)=f(A)ϕ(A)
从而A的几个多项式可以像数 x x x的多项式一样相乘或者分解因式。
-
如果 A = P Λ P − 1 ，则 A k = P Λ k P − 1 A=P\Lambda P^{-1}，则A^k=P\Lambda^kP^{-1} A=PΛP−1，则Ak=PΛkP−1，从而 ϕ ( A ) = P a 0 E P − 1 + P a 1 Λ P − 1 + ⋯ + P a m Λ m P − 1 = P ϕ ( Λ ) P − 1 \phi(A)=Pa_0EP^{-1}+Pa_1\Lambda P^{-1}+\cdots+Pa_m\Lambda^mP^{-1}=P\phi(\Lambda)P^{-1} ϕ(A)=Pa0EP−1+Pa1ΛP−1+⋯+PamΛmP−1=Pϕ(Λ)P−1
-
如果 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)为对角矩阵，则 Λ k = d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , ⋯ , λ n k ) \Lambda^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k) Λk=diag(λ1k,λ2k,⋯,λnk),从而
ϕ ( Λ ) = a 0 E + a 1 Λ + ⋯ + a m Λ m = d i a g ( ϕ ( λ 1 ) , ϕ ( λ 2 ) , ⋯ , ϕ ( λ n ) ) \phi(\Lambda)=a_0E+a_1\Lambda+\cdots+a_m\Lambda^m\\ =diag(\phi(\lambda_1),\phi(\lambda_2),\cdots,\phi(\lambda_n)) ϕ(Λ)=a0E+a1Λ+⋯+amΛm=diag(ϕ(λ1),ϕ(λ2),⋯,ϕ(λn))
例15 设
P = ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) , Λ = ( 1 2 − 3 ) , A P = P Λ P=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&&\\ &2&\\ &&-3 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda\\ P= −11110112−1 ,Λ= 12−3 ,AP=PΛ
求 ϕ ( A ) = A 3 + 2 A 2 − 3 A \phi(A)=A^3+2A^2-3A ϕ(A)=A3+2A2−3A
解： ∣ P ∣ = 6 A = P Λ P − 1 ϕ ( A ) = P ϕ ( Λ ) P − 1 , ϕ ( Λ ) = d i a g ( ϕ ( λ 1 k ) , ϕ ( λ 2 ) k , ⋯ , ϕ ( λ n k ) ) ϕ ( 1 ) = 0 ， ϕ ( 2 ) = 10 , ϕ ( − 3 ) = 0 ϕ ( A ) = P ϕ ( Λ ) P − 1 = ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) ( 0 10 0 ) 1 ∣ P ∣ P ∗ 5 ( 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ) 解：\\ |P|=6\\ A=P\Lambda P^{-1}\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda) P^{-1},\phi(\Lambda)=diag(\phi(\lambda_1^k),\phi(\lambda_2)^k,\cdots,\phi(\lambda_n^k))\\ \phi(1)=0，\phi(2)=10,\phi(-3)=0\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda)P^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&&\\ &10&\\ &&0\\ \end{pmatrix} \frac{1}{|P|}P^*\\ 5\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix} 解：∣P∣=6A=PΛP−1ϕ(A)=Pϕ(Λ)P−1,ϕ(Λ)=diag(ϕ(λ1k),ϕ(λ2)k,⋯,ϕ(λnk))ϕ(1)=0，ϕ(2)=10,ϕ(−3)=0ϕ(A)=Pϕ(Λ)P−1= −11110112−1 0100 ∣P∣1P∗5 101000101
结语
❓QQ:806797785
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参考：
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p39-44.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p10.