前言
- 本文基础知识部分来自于b站：分享笔记的好人儿的思维导图与王道考研课程，感谢大佬的开源精神，习题来自老师划的重点以及考研真题。
- 此前我尝试了完全使用Python或是结合大语言模型对考研真题进行数据清洗与可视化分析，本人技术有限，最终数据清洗结果不够理想，相关CSDN文章便没有发出。
（考研真题待更新）
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文章目录
第三章 栈、队列和数组
栈
栈的概念
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限定仅在一端进行插入和删除操作的线性表，又称后进先出（LIFO）的线性表；
允许插入删除的那一端叫栈顶（Top），不允许插入和删除的一端叫栈底（Bottom）
- 特殊的线性表，后进先出（LIFO）
- 特殊的线性表，后进先出（LIFO）
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注意：n个不同元素进栈，出栈元素不同排序个数为（n个元素能构成多少种不同的二叉树）
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栈的实现
顺序栈
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栈的顺序存储结构
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顺序栈的基本结构
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利用一组地址连续的存储单元存放自栈底到栈顶的数据元素，同时设一个栈顶指针（Top）
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基础结构
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栈顶指针，初始值：S.top = -1（若有元素，则指向栈顶元素S.data[S.top]）
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进栈：栈不满时，栈指针先+1，再送值到栈顶
- 出栈：栈非空时，先取栈顶元素值，再将栈顶指针-1
- 出栈：栈非空时，先取栈顶元素值，再将栈顶指针-1
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栈空条件：S.top == -1
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栈满条件：S.top == MaxSize-1
- 栈长：S.top + 1
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顺序栈的基本操作
- 初始化、判栈空、进栈、出栈、读栈顶元素（本质就是操作顺序表）
- 初始化、判栈空、进栈、出栈、读栈顶元素（本质就是操作顺序表）
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S.top == 0
共享栈
- 共享栈
-
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概念
- 让两个顺序栈共享一个一维数组空间，将两个栈的栈底分别设置在共享空间的两端，两个栈顶向共享空间的中间延伸
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原则
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栈空判断：top0 = -1时0号栈为空，top1 = MaxSize时1号栈为空
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栈满判断：两个栈顶指针相邻（即top1-top0 == 1）时
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其他操作和顺序栈类似
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链栈
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栈的链式存储结构
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采用单链表实现，并规定所有操作都是在单链表的表头进行
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优点
- 便于多个栈共享存储空间和提高效率，不存在栈满上溢的情况
队列
队列的概念
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是一种操作受限的线性表，只允许在表的一端进行插入（队尾），另一端进行删除（队头）
- 特殊的线性表，先进先出（FIFO）
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队头：删除元素的一端
- 队尾：插入元素的一端
- 队尾：插入元素的一端
-
队列的实现
队列的顺序存储结构
- 队列的顺序存储结构
-
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分配一块连续的存储单元存放队列元素，设两个指针
- 队头指针front：指向队头元素
队尾指针rear：指向队尾元素的下一个元素
- 队头指针front：指向队头元素
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基础结构
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初始状态（队空条件）：Q.front == Q.rear == 0
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进队操作：队不满时，先送值到队尾元素，再将队尾指针+1
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出队操作：队不空时，先取队头元素值，再将队头指针+1
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假溢出：在data数组依然存在空位置时，却已经满足队列满的条件（出栈的元素位置空闲）
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循环队列(解决假溢出问题)
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概念
- 把存储队列元素的表逻辑上视为一个环
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基本操作
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初始时：Q.front = Q.rear = 0
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队头指针+1：Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize
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队尾指针+1：Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize
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队列长度：(Q.rear + MaxSize - Q.front) % MaxSize
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队空：Q.front == Q.rear
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队满判断
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牺牲一个单元来区分队空和队满，即队头指针在队尾指针的下一位置作为队满标志
- 队满条件：(Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front
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类型中增设表示元素个数的数据成员（int size）
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队空：Q.size == 0
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队满：Q.size == MaxSize
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类型中增设tag数据成员，以区分是队满还是队空
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tag == 0时，若因删除导致Q.front == Q.rear，则队空
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tag == 1时，若因插入导致Q.front == Q.rear，则队满
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rear指向队尾元素
牺牲一个存储单元
- front在rear后两个位置，队满
- front在rear后一个位置，队满
队列的链式存储结构
- 队列的链式存储结构
-
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队列的链式表示时一个同时带有队头指针和队尾指针的单链表
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头指针指向队头结点，队尾指针指向队尾结点，当Q.front == NULL且Q.rear == NULL时，队列为空
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不存在队列满且溢出问题，适合于数据元素变动较大的情况
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小结
双端队列（挺喜欢考的考点）
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概念
- 双端队列是指允许两端都可以进行入队和出队操作的队列，其逻辑结构仍是线性表
- 双端队列是指允许两端都可以进行入队和出队操作的队列，其逻辑结构仍是线性表
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分类
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输出受限的双端队列：允许在一端进行插入和删除，但在另一端只允许插入的双端队列
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输入受限的双端队列：允许在一端进行插入和删除，但在另一端只允许删除的双端队列
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栈和队列有相同逻辑结构，线性结构
合适与不合适做链队的链表，关键看能不能获取到首尾指针（带首尾的非循环或带尾的循环）
- 单链表实现队列，队头只能设置在链头（关注删除操作，需找到新队头）
栈和队列的应用
栈的应用
括号
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括号匹配
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步骤
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初始设置一个空栈，顺序读入括号
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若右括号，则从栈中弹出一个符号，判断是否匹配
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若左括号，则压入栈中
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失败条件
- 不匹配、结束后栈仍有元素、遇右括号栈为空
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表达式求值
中缀表达式转后缀表达式
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从左到右遍历各元素
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若遇到操作数：直接加入后缀表达式
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遇到界限符："("直接入栈；")"则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出"("为止
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遇到运算符：依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到"("或栈空则停止，之后再把运算符入栈
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后缀表达式的计算
- 从左向右扫描元素，若扫描到操作数则压入栈，若扫描到运算符则弹出两个栈顶元素，执行运算将结构压回栈中
中缀表达式转前缀表达式
- 同理但从右到左遍历，"("和")"与中缀转后缀的功能相反，最后结果依次翻转
前缀表达式的计算
- 从右向左扫描元素，若扫描到操作数则压入栈，若扫描到运算符则弹出两个栈顶元素，执行运算将结构压回栈中
中缀表达式的计算（用栈实现）
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初始化操作数栈和运算符栈
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若扫描到操作数，压入操作数栈；若扫描到运算符或界限符，按"中缀转后缀"的逻辑压入运算符栈（可能弹出运算符，若弹出则将栈顶的两个操作数运算压回操作数栈）
其他
- 其他：数制转换、八皇后问题、行编辑程序、函数调用、迷宫求解等
小结
递归
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概念
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若对象部分地包含自己，或用自己给自己定义，则称这个对象是递归的
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若一个过程直接或间接的调用自己，则这个过程是递归的
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分治的思想：必备条件
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能将一个问题转变成一个新问题，且两者的解法相同或类似，不同的仅是对象，且对象有变化规律
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可以通过上述转化将问题化简
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必须有一个明确的递归出口（递归边界）
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形式
小结
队列的应用
- 脱机打印输出、解决多用户引起的资源竞争问题、广度优先遍历、网络电文传输按时间先后顺序依次进行等等
数组和特殊矩阵
本节的题目计算都可以不记公式，直接代入推导
数组
-
概念
- 数组是由n个相同类型的数据元素构成的有限序列，每个元素在n个线性关系中的序号称为元素下标，下标取值范围称为数组的维界
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与线性表的关系
- 数组是线性表的推广，一维数组可视为一个线性表，二维数组可以视为其元素也是定长线性表的线性表
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数组的存储结构
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数组的所有元素在内存中占用一段连续的存储空间
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一维数组
- 存储结构关系式：LOC(ai) = LOC(a0) + i × L （0 <= i < n，L是每个元素所占存储单元）
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多维数组
-
按行优先（一行行存储）
- 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [i × (h1 + l) + j] × L （二维数组：h1 × h2）
- 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [i × (h1 + l) + j] × L （二维数组：h1 × h2）
-
按列优先（一列列存储）
- 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [j × (h2 + l) + i] × L （二维数组：h1 × h2）
- 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [j × (h2 + l) + i] × L （二维数组：h1 × h2）
-
-
特殊矩阵
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指具有许多相同矩阵元素或0元素，并且这些相同矩阵元素或0元素的分布有一定规律
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压缩矩阵
- 找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现分布规律的、多个值相同的元素只分配一个存储空间，对0元素不分配空间
- 找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现分布规律的、多个值相同的元素只分配一个存储空间，对0元素不分配空间
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对称矩阵
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概念
- 若对一个n阶方阵中的任意元素a(i, j) = a(j, i)，则称其为对称矩阵，可放在一维数组B[n(n+1)/2]中
- 若对一个n阶方阵中的任意元素a(i, j) = a(j, i)，则称其为对称矩阵，可放在一维数组B[n(n+1)/2]中
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存储位置计算公式
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三角矩阵
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概念
- （上/下）三角区的所有元素均为同一常量，其可压缩为存储完（下/上）三角区和主对角线上元素 + 存储常量一次
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（下/上）三角矩阵元素下标对应关系
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下三角矩阵
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上三角矩阵
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（下/上）三角矩阵在内存中的压缩存储形式
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下三角矩阵
-
上三角矩阵
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三对角矩阵
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概念
- 又称带状矩阵，除以对角线为中心的3条对角线区域外都为0
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压缩存储：将元素按行优先方式存放在一维数组B中，且a(i, j)与B[n]对应关系为：k = 2i + j - 3
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稀疏矩阵
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概念
- 矩阵中非0元素的个数t，相对矩阵元素的个数s来说非常少，即s>>t
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存储方式
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三元组（行标、列标、值）
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十字链表法
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稀疏矩阵压缩存储后失去了随机存取的特性
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补充代码
栈（数组模拟）
- 对数组简单操作，略
（循环）队列（数组模拟）
-
循环队列注意点：队满与队空条件需要有区别，即需要一个额外的元素空间判断队空与队满
cpp
void push_q(int x){
if((tail + N + 1) % N != head){ //判断队满
q[tail] = x;
tail = (N + tail + 1) % N; //队尾插入一个数据注意指针移动需要%N，对头类似：head=(N+head+1)%N;
}
}
bool empty(){ //判断是否为空
return head == tail;
}
void pop_q(){ //对头删去一个元素
if(!empty())
head = (N + head + 1) % N;
}
void query(){ //查询对头元素
if(!empty())
printf("%d\n",q[head]);
}单调栈
-
应用场景：求某个数左边第一个小于他的数；
思路：在每次暴力从for循环的当前值，向左遍历找第一个小于数的O(n2)情况下进行优化；
在向左遍历过程中删去无用的数（左边小于，但值大于），利用栈形成单调增大的序列，所求数即为栈顶；
cpp
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&v);
while(top&&s[top-1]>=v) top--; //去除比当前数大但在左边的数
if(!top) printf("-1 ");
else printf("%d ",s[top-1]); //输出栈顶元素，即第一个小于当前数的数
s[top++]=v; //当前数压入栈中
}单调队列
-
应用场景：滑动窗口中最小值，也可优化背包问题；
思路：同理通过删去无用的数进行优化；
（求滑动窗口中最小值）队列头保留最小的数，遍历数组，若队尾数大于遍历的数则不断删去队尾（同理无用的数），使得队列单调增，在遍历过程中，不断更新队头使得不超过滑动窗口。
cpp
for(int i=0;i<n;i++){
if(l<r&&i-q[l]>len-1) l++; //移动对头使不超过滑动窗口，为了实现，q数组存下标
while(l<r&&v[q[r-1]]>=v[i]) r--; //弹出队尾无用数，因为会在队尾弹出不满足先进先出原则，事实上也不能叫单调队列
q[r++]=i; //每次都入队一个
if(i>=len-1) printf("%d ",v[q[l]]);
}考研真题
408 - 2023
（考研真题待更新）