图论基础入门

一、存图

存图方式一共有三种：邻接矩阵、邻接表、前向星

纯前向星还需要再加上排序的时间复杂度（当排序不是主要复杂度时适用），如果快排，时间复杂度是O(n log n)，可以用别的排序方式优化，即基数排序（不写纯前向星了，不会写基数排序）

事实上，不用排序也能模仿出来前向星的核心思路，即链式前向星，链式前向星也是最常用的存图方式

邻接矩阵

cpp 复制代码

int edge[100][100],vis[100],m,n;
void add_edge(int u,int v,int w) //添加边
{
	edge[u][v]=w;
}
void dfs(int x) //遍历
{
	vis[x]=1;
	cout<<x;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(edge[x][i]&&!vis[i])
		{
			cout<<"->";
			dfs(i);
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add_edge(u,v,w);
		add_edge(v,u,w);
	}
	dfs(1);
	return 0;
}

/*
test

4 5
1 2 5
1 3 8
1 4 7
2 3 6
3 4 9

*/

邻接表（链式前向星）

cpp 复制代码

int n,m,cnt,head[100],vis[100];
struct edge{
	int nxt,to,w;
}e[100];
void add_edge(int u,int v,int w)
{
	e[++cnt] = (edge){head[u],v,w};
	head[u] = cnt;
}
void dfs(int x)
{
	cout<<x;
	vis[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		if(!vis[e[i].to])
		{
			cout<<"->";
			dfs(e[i].to);
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add_edge(u,v,w);
		add_edge(v,u,w);
	}
	dfs(1);
	return 0;
}

邻接表（vector存边）

cpp 复制代码

vector<pair<int,int>> e[100];
int n,m,vis[100];
void add_edge(int u,int v,int w) //存边
{
	e[u].push_back(make_pair(v,w));
}
void dfs(int x) //遍历
{
	cout<<x;
	vis[x]=1;
	for(int i=0;i<e[x].size();i++)
	{
		if(!vis[e[x][i].first])
		{
			cout<<"->";
			dfs(e[x][i].first);
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add_edge(u,v,w);
		add_edge(v,u,w);
	}
	dfs(1);
	return 0;
}

二、遍历

由于邻接表使用广泛，因此以邻接表为例说明图的遍历

1.DFS遍历

DFS（Depth First Search），维护一个栈，每次从栈中取出点/放入点，以栈的出栈顺序遍历图

对于栈的使用，可以利用天然的递归栈 （递归形式） ，也可以手写栈 （递推形式）

DFS递归形式

cpp 复制代码

void dfs(int x)
{
	cout<<x;
	vis[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		if(!vis[e[i].to])
		{
			cout<<"->";
			dfs(e[i].to);
		}
	}
}

DFS非递归形式

cpp 复制代码

void dfs(int x)
{
	stack<int> order; //原先天然的递归栈用手写栈代替
	order.push(x);vis[x]=1;
	while(!order.empty())
	{
		x=order.top();
		order.pop();
		cout<<x<<"->";
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		{
			if(!vis[e[i].to])
			{
				vis[e[i].to]=1;
				order.push(e[i].to);
			}
		}
	}
}

2. BFS遍历

BFS（Breadth First Search），维护一个队列，每次从队列中取出点/放入点，以队列的出队顺序遍历图

cpp 复制代码

void bfs(int x)
{
	queue<int> order;
	order.push(x);
	vis[x]=1;
	while(!order.empty())
	{
		x=order.front();
		cout<<x<<" ";
		order.pop();
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		{
			if(!vis[e[i].to])
			{
				vis[e[i].to]=1;
				order.push(e[i].to);
			}
		}
	}
}

对于BFS，因为是 "广度优先" ，可以用于最短路径算法，具体请移步我的下一篇博客