2024.4.2
题目来源
我的题解
方法一 分治
- 只有一个节点必然是真二叉树
- 偶数个节点的树必然不是真二叉树，因为每个节点恰好有0或者2个子节点（详细证明可以使用归纳法，见官方题解）
- 当节点数大于1并且为奇数时，可以分别枚举左子树和右子树的根节点数，然后递归构造左子树和右子树。
时间复杂度 ： O ( 2 n n ) O(\dfrac{2^n}{\sqrt{n}}) O(n 2n)，其中 n 是给定的真二叉树的结点数。只有当 n 是奇数时才存在真二叉树，记 2k+1，由 n 个结点组成的真二叉树的数量是第 k 个卡特兰数 C ( 2 k , k ) k + 1 \dfrac{C(2k, k)}{k + 1} k+1C(2k,k)，其渐进上界为 O ( 4 k k k ) = O ( 2 n n n ) O(\dfrac{4^k}{k \sqrt{k}}) = O(\dfrac{2^n}{n \sqrt{n}}) O(kk 4k)=O(nn 2n)，对于每个真二叉树需要 O(n) 的时间生成和添加到答案中，因此时间复杂度是 O ( 2 n n ) O(\dfrac{2^n}{\sqrt{n}}) O(n 2n)。
空间复杂度：O(n)
java
public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
List<TreeNode> res=new ArrayList<>();
//偶数个节点无法得到真二叉树
if(n%2==0)
return res;
return partition(n);
}
public List<TreeNode> partition(int n){
List<TreeNode> res=new ArrayList<>();
//只有一个节点必然是真二叉树
if(n==1){
res.add(new TreeNode(0));
return res;
}
for(int i=1;i<n;i+=2){
List<TreeNode> lefts=partition(i);
List<TreeNode> rights=partition(n-i-1);
for(TreeNode left:lefts){
for(TreeNode right:rights){
TreeNode root=new TreeNode(0,left,right);
res.add(root);
}
}
}
return res;
}方法二 动态规划
先构造节点数量为 1 的子树，然后构造节点数量为 5 的子树，然后依次累加即可构造出含有节点数目为 n 的真二叉树。
- 节点数目序列分别为 [(1,1)] 的子树可以构造出节点数目 3的子树；
- 节点数目序列分别为 [(1,3),(3,1)] 的子树可以构造出节点数目 5 的真二叉树；
- 节点数目序列分别为 [(1,5),(3,3),(5,1)] 的子树可以构造出节点数目 7 的真二叉树；
- 节点数目序列分别为 [(1,i−2),(3,i−4),⋯ ,(i−2,1)]的子树可以构造出节点数目 iii 的真二叉树；
如果构造节点数目为 nnn 真二叉树，此时可以从节点数目序列为 [(1,n−2),(3,n−5),⋯ ,(n−2,1)]的真二叉树中构成，按照所有可能的组合数进行枚举，即可构造成节点数目为 n 的真二叉树。
时间复杂度： O ( 2 n n ) O(\dfrac{2^n}{\sqrt{n}}) O(n 2n)空间复杂度：O(1)
java
public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
//偶数个节点无法得到真二叉树
if(n%2==0)
return new ArrayList<>();
List<TreeNode>[] dp=new ArrayList[n+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
dp[i]=new ArrayList<>();
dp[1].add(new TreeNode(0));
//总节点数
for(int i=3;i<=n;i+=2){
//左子树的根节点数
for(int j=1;j<i;j+=2){
for(TreeNode left:dp[j]){
for(TreeNode right:dp[i-1-j]){
TreeNode root=new TreeNode(0,left,right);
dp[i].add(root);
}
}
}
}
return dp[n];
}有任何问题，欢迎评论区交流，欢迎评论区提供其它解题思路（代码），也可以点个赞支持一下作者哈😄~