java数据结构与算法刷题-----LeetCode172. 阶乘后的零

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- 数学：阶乘的10因子个数
- 数学优化:思路转变为求5的倍数的个数

`数学：阶乘的10因子个数`

解题思路：时间复杂度O( n n n)，n为5的个数，空间复杂度O( 1 1 1)

如果想要求出阶乘，一定会超时。所以我们要找到破题点。就是什么条件下阶乘末尾会出现0。

我们发现阶乘结果求出来后，不断的提出因子10，能提出多少次，就有几个0. 例如5！=120. 此时进行因式分解为： 10 ∗ ( 12 ) . 10*(12). 10∗(12).一共提出1个10，因此一共一个0.

10是由2和5构成的。而且5的个数绝对更少。例如120 = 5 ∗ ( 24 ) 5*(24) 5∗(24) = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ ( 15 ) 2*2*2*(15) 2∗2∗2∗(15).我们发现5的个数决定了阶乘结果中可以和2组成几个10.

因此我们可以先尝试统计n的阶乘中，5的个数。试一下效果

我们不需要每个阶乘数字都统计，例如5！中只有5这个数会出现5.因为5！=1*2*3*4*5.明眼人都知道，1,2,3,4不会有5的出现。

代码：最起码通过了对吗，说明想法没错，接下来法二会继续优化

java 复制代码

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int ans = 0;//统计5的个数
        for (int i = 5; i <= n; i += 5) {//只有5,10,15,20,25....会出现5，其它数字不会出现5
            for (int x = i; x % 5 == 0; x /= 5) {//统计这些因子中的5的个数。例如100这个因子，可以拆解为5*5*4.有两个5
                ++ans;//5的个数
            }
        }
        return ans;
    }
}

`数学优化:思路转变为求5的倍数的个数`

解题思路：时间复杂度O( l o g 2 n log_2n log2n)，空间复杂度O( 1 1 1)

以1000为例：1000 = 5 ∗ 200 5*200 5∗200 = 5 ∗ 5 ∗ 40 5*5*40 5∗5∗40 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 8 5*5*5*8 5∗5∗5∗8 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 8 5 5*5*5*5*\dfrac{8}{5} 5∗5∗5∗5∗58.则1000的阶乘的5的个数为200+40+8+1 = 249个

为什么对单个数字1000不断除5，可以求出1000的阶乘中5的个数呢？

因为我们需要转变思路，从现在开始，我们要统计从1到1000中，5的倍数出现的次数。

1到1000中，5的倍数出现200次, 200个5的倍数分别是 5 , 10 , 15 , 20 , . . . . . , 1000 5,10,15,20,.....,1000 5,10,15,20,.....,1000

此时如果我们将这200个5的倍数，全部提出一个5，就会获得200个5. 并且因式分解后剩下的值看起来如下： 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ . . . . ∗ 200 1*2*3*4*5*....*200 1∗2∗3∗4∗5∗....∗200,你会发现它们这些数正好组成了200的阶乘所有的数，

此时，我们只需要从1到200这些数中，找当中5的倍数的个数。也就是 5 , 10 , 15 , 20 , . . . , 200 5,10,15,20,...,200 5,10,15,20,...,200

而200这个阶乘中，5的倍数共出现40次，我们将40次进行统计，然后继续对这40个5的倍数提出一个5的因子。你会发现它们又变成了40的阶乘。

此时继续求40这个阶乘中，5的倍数出现的次数。结果如下：共8个5的倍数，我们将8个5提出后，剩下的数字组成了8的阶乘

继续对8求：共1个5的倍数5，提出1个5后，剩下数字只有1了，也就不用继续遍历了

最终，就可以将所有我们提出的5统计起来，200+40+8+1 = 249个。

代码

java 复制代码

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;//统计个数
        while (n != 0){//只要n的阶乘中还可以有5就继续
            n /= 5;//获取n这个阶乘中所有5的倍数的个数
            count += n;//统计个数
        }
        return count;
    }
}