【图论】图的存储--链式前向星存图法以及深度优先遍历图

图的存储

介绍

无向图-就是一种特殊的有向图->

只用考虑有向图的存储即可

有向图

• 邻接矩阵
• 邻接表

邻接表

存储结构:

(为每一个点开了一个单链表,存储这个点可以到达哪个点)

• 1:3->4->null
• 2:1->4->null
• 3:4->null
• 4:null

插入一条新的边

比如要插一条边：2->3

• 先找到 2 对应的单链表
• 然后将 3 插入到单链表里面去(一般使用头插)

对应的结构变化为:

• 1:3->4->null
• 2:3->1->4->null
• 3:4->null
• 4:null

插入边 Coding Part

#include <iostream>
#include <cstring>
#define p(e) print(e, sizeof(e)/sizeof(int))
using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;
//N表示结点数量上限，M表示结点数值上限

int h[N], e[M], ne[M], idx;

//插入一个a->b
inline void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
	/*
		* idx是没有使用的空结点索引
		* 先给这个位置赋值b					# e[idx] = b
		* 然后让这个结点指向头结点			# ne[idx] = h[a]
		* 然后再更新头结点 					# h[a] = idx++
		* 同时让idx移动到新的空结点索引中去 # idx++
	*/
}

inline void print(int arr[], int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) cout << arr[i] << ' ';
	cout << endl;
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
}

遍历图

深度优先方法遍历图

• 需要使用一个bool数组存放是否遍历的状态
• 然后进行深度优先遍历

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;
//N表示结点数量上限，M表示结点数值上限

int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];
//插入一个a->b
inline void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
	/*
		* idx是没有使用的空结点索引
		* 先给这个位置赋值b					# e[idx] = b
		* 然后让这个结点指向头结点			# ne[idx] = h[a]
		* 然后再更新头结点 					# h[a] = idx++
		* 同时让idx移动到新的空结点索引中去 # idx++
	*/
}

inline void dfs(int u) {
	st[u] = true;
	cout << u << ' ' ;
	for (int i = h[u]; i != -1; i=ne[i]) {
		int j = e[i];
		if (!st[j]) dfs(j);
	}
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
	memset(st, false, sizeof st);
	add(1, 3);
	add(3, 5);
	add(3, 6);
	add(1, 2);
	add(1, 8);
	dfs(1);
}

题目:树的重心

给定一棵树，树中包含n个结点，（编号为1~n）和n-1个无向边

请找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个结点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个结点被称为树的重心。
输入格式 ：

第一行包含整数 n，表示树的结点数。

接下来 n-1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示 a 和 b 之前存在的一条边。

输出格式 ：

输出一个整数 m，表示重心的所有子树中最大子树的结点数目。

数据范围 ：
1 <= n <= 10⁵

输入样例：

9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6

输出样例：

4

答案代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100001, M = N*2;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];

//a->b
void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

/*遍历模板*/
void dfs_template(int u) {
	st[u] = true;
	cout << u << ' ';
	for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
		int j = e[i];
		if (!st[j]) {
			dfs_template(j);
		}
	}
}

int n;										//n为题目输入的结点数量
int ans = INT_MAX;							//初始化题目要求的最小值
int dfs(int u) {
	//每一棵树找到最大连通块的数量
	st[u] = true;
	int sum = 1, res = 0;							//sum统计子结点(包括自己)的数量, res统计儿子树最大连通块数量
	for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
		int j = e[i];
		if (!st[j]) {
			int s = dfs(j);
			sum += s;							//加上子节点的数量
			res = max(s, res);					//找到子树中的最大连通块
		}
	}
	res = max(res, n-sum);							//和父亲树进行比较
	ans = min(ans, res);							//更新答案
	return sum;
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof ne);
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n-1; i++) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b), add(b, a);
	}
	dfs(1);
	cout << ans << endl;
}

宽度优先方法遍历图

补充两个图论的概念:

• 重边 : 例如，存在两条 1->2 的边，叫重边
• 自环 ：例如，1->1叫自环

题目：图中点的层次