蓝桥杯算法题：蓝桥骑士

题目描述

小明是蓝桥王国的骑士，他喜欢不断突破自我。

这天蓝桥国王给他安排了 N 个对手，他们的战力值分别为 a_1,a_2,...,a_n，且按顺序阻挡在小明的前方。对于这些对手小明可以选择挑战，也可以选择避战。

身为高傲的骑士，小明从不走回头路，且只愿意挑战战力值越来越高的对手。

请你算算小明最多会挑战多少名对手。

输入描述

输入第一行包含一个整数 N，表示对手的个数。

第二行包含 N 个整数 a_1,a_2,...,a_n分别表示对手的战力值。

输出描述

输出仅一行包含一个整数表示答案。

样例输入

6

1 4 2 2 5 6

样例输出

4

思路：本来是想用LIS动态规划来做的，但是不出意外超时了，LIS代码如下：

复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[400010];
int a[400010];
int main(){
  int n;
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<i;j++){
      if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    }
  }
  int maxN=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(maxN<dp[i])maxN=dp[i];
  }
  cout<<maxN<<endl;
}

那怎么改进呢，比如说1 4 2 2，长度为2的子序列是不是有{1,4}和{1,2}，如果以后出现一个数字5，LIS的做法是遍历1 4 2 2所有数字的值并dp出把5放进哪个子序列，它形成的序列最长。很明显是{1,4,5}或者{1,2,5}，但是细想一下{1,4}跟{1,2}的长度是一样的，比4大的数字一定比2大，比2大的数字不一定比4大，那在长度一样的时候，我维护一个最小值就好了，用那个最小值来形成进一步的子序列。

代码如下，slln $i$ =k表示长度i的子序列中，末尾的最小值是k：

复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[400010];
int slln[400010];
int main(){
  int n;
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];
  }
  memset(slln,0x3f3f3f3f,sizeof(slln));
  slln[0]=0;
  int len=1;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=len-1;j>=0;j--){
      if(slln[j]<a[i]){
        slln[j+1]=min(slln[j+1],a[i]);
        if(j+1==len)len++;
        break;
      }
    }
  }
  cout<<len-1<<endl;
}