蓝桥杯算法题:蓝桥骑士

题目描述

小明是蓝桥王国的骑士,他喜欢不断突破自我。

这天蓝桥国王给他安排了 N 个对手,他们的战力值分别为 a_1,a_2,...,a_n,且按顺序阻挡在小明的前方。对于这些对手小明可以选择挑战,也可以选择避战。

身为高傲的骑士,小明从不走回头路,且只愿意挑战战力值越来越高的对手。

请你算算小明最多会挑战多少名对手。

输入描述

输入第一行包含一个整数 N,表示对手的个数。

第二行包含 N 个整数 a_1,a_2,...,a_n分别表示对手的战力值。

输出描述

输出仅一行包含一个整数表示答案。

样例输入

6

1 4 2 2 5 6

样例输出

4

思路:本来是想用LIS动态规划来做的,但是不出意外超时了,LIS代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[400010];
int a[400010];
int main(){
  int n;
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<i;j++){
      if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    }
  }
  int maxN=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(maxN<dp[i])maxN=dp[i];
  }
  cout<<maxN<<endl;
}

那怎么改进呢,比如说1 4 2 2,长度为2的子序列是不是有{1,4}和{1,2},如果以后出现一个数字5,LIS的做法是遍历1 4 2 2所有数字的值并dp出把5放进哪个子序列,它形成的序列最长。很明显是{1,4,5}或者{1,2,5},但是细想一下{1,4}跟{1,2}的长度是一样的,比4大的数字一定比2大,比2大的数字不一定比4大,那在长度一样的时候,我维护一个最小值就好了,用那个最小值来形成进一步的子序列。

代码如下,slln[i]=k表示长度i的子序列中,末尾的最小值是k:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[400010];
int slln[400010];
int main(){
  int n;
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];
  }
  memset(slln,0x3f3f3f3f,sizeof(slln));
  slln[0]=0;
  int len=1;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=len-1;j>=0;j--){
      if(slln[j]<a[i]){
        slln[j+1]=min(slln[j+1],a[i]);
        if(j+1==len)len++;
        break;
      }
    }
  }
  cout<<len-1<<endl;
}
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