【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day25|最大公约数|算数基本定理|4199.公约数(C++)

4199.公约数
4199. 公约数 - AcWing题库
难度:中等
时/空限制:1s / 256MB
总通过数:2801
总尝试数:7059
来源: AcWing第30场周赛
算法标签 最大公约数试除法二分

题目内容

给定两个正整数 a 和 b。

你需要回答 q 个询问。

每个询问给定两个整数 l,r,你需要找到最大的整数 x,满足:

  1. x 是 a 和 b 的公约数。
  2. l≤x≤r。
输入格式

第一行包含两个整数 a,b。

第二行包含一个整数 q。

接下来 q 行,每行包含两个整数 l,r。

输出格式

每个询问输出一行答案,即满足条件的最大的 x,如果询问无解,则输出 −1。

数据范围

前六个测试点满足 1≤a,b≤100,1≤q≤20。

所有测试点满足 1≤a,b≤109,1≤q≤104,1≤l≤r≤10^9。

输入样例:
复制代码
9 27
3
1 5
10 11
9 11
输出样例:
复制代码
3
-1
9
题目解析

给两个正整数,每次找a和b在l到r之间的公约数

a和b都是10^9

测试数量是1万

如果x是a和b的约数的话

那么x一定是a和b的最大公约数的约数

证明

如果x可以整除a,并且x可以整除b的话,那么x就一定可以整除a和b的最大公约数

反过来说

a和b的最大公约数里的任何一个约数,都一定既是a的约数也是b的约数

如果一个数是a和b的最大公约数的约数,这个数就既是a的约数也是b的约数

要证明一件事,x所有可以选择的集合,就是a和b的最大公约数的约数

证明两个集合是一一对应的,要证明右边任取一个元素一定属于左边

任取一个a和b的最大公约数的约数,一定既能整除a也能整除b,所以属于左边

还要反过来证明左边任取一个元素一定属于右边

任取一个既是a的约数也是b的约数的数,一定要证明出来是a和b的最大公约数的约数

用算数基本定理

a一定可以唯一分解成若干的质因子相乘的结果
a = P 1 a 1 P 2 a 2 ... P k a k b = P 1 b 1 P 2 b 2 ... P k b k ( a , b ) = P 1 m i n ( a 1 , b 1 ) P 2 m i n ( a 2 , b 2 ) ... P k m i n ( a k , b k ) \begin{array}{} \\ a = P_{1}^{a_{1}}P_{2}^{a_{2}}\dots P_{k}^{a_{k}} \\ b = P_{1}^{b_{1}}P_{2}^{b_{2}}\dots P_{k}^{b_{k}} \\ (a,b)=P_{1}^{min(a_{1},b_{1})}P_{2}^{min(a_{2},b_{2})}\dots P_{k}^{min(a_{k},b_{k})} \end{array} a=P1a1P2a2...Pkakb=P1b1P2b2...Pkbk(a,b)=P1min(a1,b1)P2min(a2,b2)...Pkmin(ak,bk)

如果x既可以整除a,也可以整除b的话

就一定意味着
x = P 1 x 1 P 2 x 2 ... P k x k x = P_{1}^{x_{1}}P_{2}^{x_{2}}\dots P_{k}^{x_{k}} x=P1x1P2x2...Pkxk

并且
x i ≤ a i x i ≤ b i x_{i} \le a_{i} \qquad x_{i} \le b_{i} xi≤aixi≤bi

因此
x i ≤ m i n ( a i , b i ) x_{i} \le min(a_{i},b_{i}) xi≤min(ai,bi)

所以x一定是a和b的最大公约数的约数


直接可以先求出a和b的最大公约数,等于d

x可以取值的范围就是d的所有约数

一个数的所有约数最多就是根号n级别

所以可以先将d的所有约数找出来,放到一个数组里排个序

接下来要找到l到r之间的最大的一个数

可以二分一下

在所有约数里边,二分出来小于等于r的最大数

判断一下这个数是不是在l到r之间就可以了

求一个数的所有约数

代码
复制代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

//最大公约数模板
int gcd (int a, int b)  //欧几里得算法
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

//用试除法求所有约数,返回到vector里
vector<int> get_divisors(int x)
{
	//定义一个vector用来存所有的约数
	vector<int> res;
	for (int i = 1; i <= x / i; i ++)
		if (x % i == 0)
		{
			res.push_back(i);
			if (i != x / i) res.push_back(x / i);
		}

	sort(res.begin(), res.end());
	return res;
}

int main()
{
	//读入a和b,求最大公约数
	int a, b;
	scanf("%d%d", &a, &b);
	int d = gcd(a, b);

	//求a和b的所有约数
	auto ds = get_divisors(d);

	//读入询问的数量
	int q;
	scanf("%d", &q);

	//依次读入每个询问
	while (q --)
	{
		int L, R;
		scanf("%d%d", &L, &R);
		
		//二分
		int l = 0, r = ds.size() - 1;
		while (l < r)
		{
			int mid = l + r + 1 >> 1; //上取整
			if (ds[mid] <= R) //二分要在mid或mid的右边
				l = mid;
			else r = mid - 1;
		} 

		int x = ds[r];
		if (x >= L && x <= R) printf("%d\n", x);
		else puts("-1");
	}
	return 0;
}
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