4199.公约数
| 4199. 公约数 - AcWing题库 |
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| 难度：中等 |
| 时/空限制：1s / 256MB |
| 总通过数：2801 |
| 总尝试数：7059 |
| 来源： AcWing第30场周赛 |
| 算法标签 最大公约数试除法二分 |
题目内容
给定两个正整数 a 和 b。
你需要回答 q 个询问。
每个询问给定两个整数 l,r，你需要找到最大的整数 x，满足：
- x 是 a 和 b 的公约数。
- l≤x≤r。
输入格式
第一行包含两个整数 a,b。
第二行包含一个整数 q。
接下来 q 行，每行包含两个整数 l,r。
输出格式
每个询问输出一行答案，即满足条件的最大的 x，如果询问无解，则输出 −1。
数据范围
前六个测试点满足 1≤a,b≤100，1≤q≤20。
所有测试点满足 1≤a,b≤10^9，1≤q≤10^4，1≤l≤r≤10^9。
输入样例：
9 27
3
1 5
10 11
9 11
输出样例：
3
-1
9
题目解析
给两个正整数，每次找a和b在l到r之间的公约数
a和b都是10^9
测试数量是1万
如果x是a和b的约数的话
那么x一定是a和b的最大公约数的约数
证明
如果x可以整除a，并且x可以整除b的话，那么x就一定可以整除a和b的最大公约数
反过来说
a和b的最大公约数里的任何一个约数，都一定既是a的约数也是b的约数
如果一个数是a和b的最大公约数的约数，这个数就既是a的约数也是b的约数
要证明一件事，x所有可以选择的集合，就是a和b的最大公约数的约数
证明两个集合是一一对应的，要证明右边任取一个元素一定属于左边
任取一个a和b的最大公约数的约数，一定既能整除a也能整除b，所以属于左边
还要反过来证明左边任取一个元素一定属于右边
任取一个既是a的约数也是b的约数的数，一定要证明出来是a和b的最大公约数的约数
用算数基本定理
a一定可以唯一分解成若干的质因子相乘的结果
a = P 1 a 1 P 2 a 2 ... P k a k b = P 1 b 1 P 2 b 2 ... P k b k ( a , b ) = P 1 m i n ( a 1 , b 1 ) P 2 m i n ( a 2 , b 2 ) ... P k m i n ( a k , b k ) \begin{array}{} \\ a = P_{1}^{a_{1}}P_{2}^{a_{2}}\dots P_{k}^{a_{k}} \\ b = P_{1}^{b_{1}}P_{2}^{b_{2}}\dots P_{k}^{b_{k}} \\ (a,b)=P_{1}^{min(a_{1},b_{1})}P_{2}^{min(a_{2},b_{2})}\dots P_{k}^{min(a_{k},b_{k})} \end{array} a=P1a1P2a2...Pkakb=P1b1P2b2...Pkbk(a,b)=P1min(a1,b1)P2min(a2,b2)...Pkmin(ak,bk)
如果x既可以整除a，也可以整除b的话
就一定意味着
x = P 1 x 1 P 2 x 2 ... P k x k x = P_{1}^{x_{1}}P_{2}^{x_{2}}\dots P_{k}^{x_{k}} x=P1x1P2x2...Pkxk
并且
x i ≤ a i x i ≤ b i x_{i} \le a_{i} \qquad x_{i} \le b_{i} xi≤aixi≤bi
因此
x i ≤ m i n ( a i , b i ) x_{i} \le min(a_{i},b_{i}) xi≤min(ai,bi)
所以x一定是a和b的最大公约数的约数
直接可以先求出a和b的最大公约数，等于d
x可以取值的范围就是d的所有约数
一个数的所有约数最多就是根号n级别
所以可以先将d的所有约数找出来，放到一个数组里排个序
接下来要找到l到r之间的最大的一个数
可以二分一下
在所有约数里边，二分出来小于等于r的最大数
判断一下这个数是不是在l到r之间就可以了
求一个数的所有约数
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
//最大公约数模板
int gcd (int a, int b) //欧几里得算法
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
//用试除法求所有约数，返回到vector里
vector<int> get_divisors(int x)
{
//定义一个vector用来存所有的约数
vector<int> res;
for (int i = 1; i <= x / i; i ++)
if (x % i == 0)
{
res.push_back(i);
if (i != x / i) res.push_back(x / i);
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
int main()
{
//读入a和b，求最大公约数
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
int d = gcd(a, b);
//求a和b的所有约数
auto ds = get_divisors(d);
//读入询问的数量
int q;
scanf("%d", &q);
//依次读入每个询问
while (q --)
{
int L, R;
scanf("%d%d", &L, &R);
//二分
int l = 0, r = ds.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1; //上取整
if (ds[mid] <= R) //二分要在mid或mid的右边
l = mid;
else r = mid - 1;
}
int x = ds[r];
if (x >= L && x <= R) printf("%d\n", x);
else puts("-1");
}
return 0;
}