文章目录
- [第一章 函数与极限](#第一章 函数与极限)
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- [第四节 无穷小与无穷大](#第四节 无穷小与无穷大)
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- [定义1 无穷小](#定义1 无穷小)
- [第七节 无穷小的比较](#第七节 无穷小的比较)
- [第三章 微分中值定理与导数的应用](#第三章 微分中值定理与导数的应用)
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- [第三节 泰勒公式](#第三节 泰勒公式)
- [第九章 多元函数微分法及其应用](#第九章 多元函数微分法及其应用)
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- [第二节 偏导数](#第二节 偏导数)
- [第三节 全微分](#第三节 全微分)
- [第四节 多元复合函数的求导法则](#第四节 多元复合函数的求导法则)
第一章 函数与极限
第四节 无穷小与无穷大
定义1 无穷小
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞）时的极限为零，那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)为当 x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞）时的无穷小。
第七节 无穷小的比较
设有两个无穷小 α 、 β \alpha、\beta α、β，且 α ≠ 0 \alpha \neq 0 α=0。
则：
如果 lim α β = 0 \lim{\frac{\alpha}{\beta}}=0 limβα=0，那么就说 β \beta β是比 α \alpha α 高阶的无穷小，记作 β = ο ( α ) \beta=\omicron (\alpha) β=ο(α) ;
如果 lim α β = ∞ \lim {\frac{\alpha}{\beta}=\infty} limβα=∞，那么就说 β \beta β是比 α \alpha α低阶的无穷小；
如果 lim α β = c ≠ 0 \lim {\frac{\alpha}{\beta}=c\neq0} limβα=c=0，那么就说 β \beta β与 α \alpha α是同阶无穷小。
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三节 泰勒公式
泰勒（Taylor）中值定理1
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处具有 n n n阶导数，那么存在 x 0 x_0 x0的一个领域，对于该邻域内的八一 x x x，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , ( 3 − 3 ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),\qquad(3-3) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x),(3−3)
其中
R n ( x ) = ο ( ( x − x 0 ) n ) R_n(x)=\omicron((x-x_0)^n) Rn(x)=ο((x−x0)n)
(高阶无穷小)
第九章 多元函数微分法及其应用
第二节 偏导数
（1）偏导数
定义 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某一邻域内有定义，当 y y y固定在 y 0 y_0 y0而 x x x在 x 0 x_0 x0处有增量 Δ x \Delta x Δx时，相应的函数有增量
f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) , f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0), f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0),
如果
lim Δ x → 0 f ( x 0 + x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x ( 2 − 1 ) \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \lim _{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad\qquad \qquad (2-1) Δx→0limΔxf(x0+x,y0)−f(x0,y0)(2−1)
存在，那么称此极限为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处对 x x x的偏导数，记作
∂ z ∂ x ∣ x = x 0 y = y 0 , ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 y = y 0 , z x ∣ x = x 0 y = y 0 , o r f x ( x 0 , y 0 ) {\frac{\partial z}{\partial x}}\Bigg|{x=x_0 \atop y=y_0},{\frac{\partial f}{\partial y}}\Bigg|{x=x_0 \atop y=y_0}, z_x\Bigg| _{x=x_0 \atop y=y_0}, \: or\quad f_x(x_0,y_0) ∂x∂z y=y0x=x0,∂y∂f y=y0x=x0,zx y=y0x=x0,orfx(x0,y0)
对于y的偏导数同理。
(2)偏导函数
如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在区域 D D D内每一点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处对 x x x的偏导数都存在，那么这个偏导数就就是 x 、 y x、y x、y的函数，它就称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)对自变量 x x x的偏导函数，记作
∂ z ∂ x , ∂ f ∂ x , z x , o r f x ( x , y ) {\frac{\partial z}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial x}}, {z_x}, \: or \quad f_x(x,y) ∂x∂z,∂x∂f,zx,orfx(x,y)
偏导函数也常简称为偏导数。
(3)偏微分
已知函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)及该函数对自变量 x x x的偏导数 ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f，则定义函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)对自变量 x x x的偏微分为：
∂ f ∂ x d x {\frac{\partial f}{\partial x}}\mathrm{d}x ∂x∂fdx
第三节 全微分
（1）全微分定义
设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的全增量
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
可表示为（运用泰勒中值定理1？）
Δ z = A Δ x + B Δ y + ο ( ρ ) ( 3 − 2 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\Delta z=A\Delta x + B\Delta y + \omicron (\rho)\qquad\qquad\qquad (3-2) Δz=AΔx+BΔy+ο(ρ)(3−2)
其中 A A A和 B B B不依赖于 x x x与 y y y，仅与 Δ x \Delta x Δx
和 Δ y \Delta y Δy有关，而 ρ = Δ x 2 + Δ y 2 \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} ρ=Δx2+Δy2 。那么函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，且称 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的全微分 ，记作 d z \mathrm{d}z dz，即
d z = A Δ x + B Δ y \mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y dz=AΔx+BΔy
（2）全微分的偏导数表示
如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，则该函数在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的偏导数 ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f与 ∂ f ∂ y \frac{\partial f}{\partial y} ∂y∂f必定存在，且该点处函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的全微分可表示为
d z = ∂ f ∂ x Δ x + ∂ f ∂ y Δ y \qquad\qquad\qquad\qquad\mathrm{d}z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\qquad\qquad\qquad dz=∂x∂fΔx+∂y∂fΔy
其中 Δ x 、 Δ y \Delta x、\Delta y Δx、Δy又常记作 d x 、 d y \mathrm{d}x 、\mathrm{d}y dx、dy，所以上述公式又可以写作：
d z = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y ( 3 − 7 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\mathrm{d}z = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y\qquad\qquad\qquad(3-7) dz=∂x∂fdx+∂y∂fdy(3−7)
（3）叠加原理与三元函数全微分
二元函数的全微分符合叠加原理，即其等于它两个自变量的偏微分之和。同理三元函数即更多元的函数，也等于其自变量的偏微分之和，例如，对于四元函数 v = v ( x , y , z , t ) v=v(x,y,z,t) v=v(x,y,z,t)，有：
d v = ∂ v ∂ x d x + ∂ v ∂ y d y + ∂ v ∂ z d z + ∂ v ∂ t d t \mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial v}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial v}{\partial t}\mathrm{d}t dv=∂x∂vdx+∂y∂vdy+∂z∂vdz+∂t∂vdt
第四节 多元复合函数的求导法则
（1）全导数的定义
如果函数 u = ϕ ( t ) u=\phi(t) u=ϕ(t)与 v = ψ ( t ) v=\psi(t) v=ψ(t)在 t t t点可导，函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v)在点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] z=f[\phi(t),\psi(t)] z=f[ϕ(t),ψ(t)]在点 ( u , v ) (u,v) (u,v)可导，且有
d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t ( 4 − 1 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad\qquad\qquad(4-1) dtdz=∂u∂zdtdu+∂v∂zdtdv(4−1)
则式（4-1）称为 z z z关于 t t t的全导数。
## 第七节 方向导数与梯度
(1)方向导数定义
设有一有矢量 l \boldsymbol{l} l，其对应的单位矢量为 e l = ( c o s α , c o s β ) \boldsymbol{e_l} =(cos\alpha,cos\beta) el=(cosα,cosβ)，有一多元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)。则定义函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点关于 l \boldsymbol{l} l方向的方向导数 为 ∂ f ∂ l ∣ x = x 0 y = y 0 \frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{x=x_0\atop y=y_0} ∂l∂f y=y0x=x0，且其值为
∂ f ∂ l ∣ x = x 0 y = y 0 = lim t → 0 + f ( x 0 + t c o s α , y 0 + t c o s β ) − f ( x 0 , y 0 ) t \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{x=x_0\atop y=y_0} =\lim _{t\to 0^+}{\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tcos\beta)-f(x_0, y_0)}{t}} ∂l∂f y=y0x=x0=t→0+limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)
(2)方向导数的求解
如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)处可微分，那么函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在该点沿任一方向 l \boldsymbol{l} l的方向导数存在，其值为
∂ f ∂ l ∣ x = x 0 y = y 0 = f x ( x 0 , y 0 ) c o s α + f y ( x 0 , y 0 ) c o s β \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{x=x_0\atop y=y_0} = f_x(x_0,y_0)cos\alpha + f_y(x_0,y_0)cos\beta ∂l∂f y=y0x=x0=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
其中 c o s α 、 c o s β cos\alpha、cos\beta cosα、cosβ为适量 l \boldsymbol{l} l的方向余弦。
（3）梯度函数的定义
设有一函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，则此函数在 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)点的梯度定义为：
f x ( x 0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i}+f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j} fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j
其中 i 、 j \boldsymbol{i} 、\boldsymbol{j} i、j分别为 x x x、 y y y方向的单位向量，梯度记作 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \mathbf{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0,y0)或 ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla f(x_0,y_0) ∇f(x0,y0)。
而方向导数与梯度有如下关系
∂ f ∂ l ∣ x = x 0 y = y 0 = ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l = ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 ) ∣ c o s θ \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{x=x_0\atop y=y_0}=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \boldsymbol{e_l} = |\nabla f(x_0,y_0)|\: cos\theta ∂l∂f y=y0x=x0=∇f(x0,y0)⋅el=∣∇f(x0,y0)∣cosθ
其中 θ \theta θ为梯度与矢量 e l \boldsymbol{e_l} el的夹角。
（4）（二维）向量微分算子
称
∇ = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j \nabla=\frac{\partial }{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j} ∇=∂x∂i+∂y∂j
为（二维的）向量微分算子 或Nabla算子 ，例如 ∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} ∇f=∂x∂fi+∂y∂fj。要注意的是向量微分算子并不等于向量的点乘，而可以看作单独的一种运算。
（5）势函数（三维）
1.数量场 ：
如果对于空间区域 G G G内的每个三维点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)都有一个确定的数量 f ( M ) f(M) f(M)，那么称在这个空间区域确定了一个数量场 （如温度场、密度场等），称 f ( M ) f(M) f(M)为数量函数。
2.向量场 ：
如果与点 M M M相对应的是一个向量 F ( M ) \boldsymbol{F}(M) F(M),那么称在这空间区域 G G G内研究室了一个向量场 （例如力场、速度场等）。一个三维向量场可用一个三维向量函数 F ( M ) \boldsymbol{F}(M) F(M)来确定，而
F ( M ) = P ( M ) i + Q ( M ) j + R ( M ) k , \boldsymbol{F}(M)=P(M)\boldsymbol{i}+Q(M)\boldsymbol{j}+R(M)\boldsymbol{k}, F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,
其中 P ( M ) , Q ( M ) , R ( M ) P(M),Q(M),R(M) P(M),Q(M),R(M)都是点 M M M的数量函数，而 i , j , k i,j,k i,j,k为 x , y , z x,y,z x,y,z方向的单位向量。
3.势场 ：
若向量场 F ( M ) \boldsymbol{F}(M) F(M)为某一个（同维？）数量场 f ( M ) f(M) f(M)的梯度，即
F ( M ) = ∇ f ( M ) \boldsymbol{F}(M)=\nabla f(M) F(M)=∇f(M)
则称 f ( M ) f(M) f(M)为向量场 F ( M ) \boldsymbol{F}(M) F(M)的一个势函数 ，称 F ( M ) \boldsymbol{F}(M) F(M)为数量场 f ( M ) f(M) f(M)的势场。
笔记
方向导数："任意方向的偏导数"
三参数确定三维点，指定二维方向，求第三维相关的方向导数
包含与被包含，方向导数的范围大
方向导数：一个方向
偏导数：两个同线方向