Python数据结构与算法——算法(贪心算法、动态规划

贪心算法

介绍：贪心算法又称贪婪算法，是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，它所做出的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。

例一：找零问题

问题：假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需的钱币数量最少？

思路：为了找的钱币最少，从最大面额找，找不开就用比它小的找...

t = [100, 50, 20, 5, 1]

def change(t, n):
    m = [0 for _ in range(len(t))]
    for i, money in enumerate(t):
        m[i] = n // money
        n = n % money
    return m, n

print(change(t, 376))

例二：背包问题

问题：一个小偷在某个商店发现有n个商品，第i个商品价值vi元，重wi千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走哪些商品？

• 0-1背包：对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。(商品为金条)
• 分数背包：对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。(商品为金砂)

分数背包使用贪心算法没有问题，但是0-1背包不可以！

分数背包

goods = [(60, 10), (120, 30), (100, 20)]  # 每个商品元组表示(价格, 重量)
goods.sort(key = lambda x:x[0]/x[1], reverse = True)  # 按照单价排序

def fractional_backpack(goods, w):    
    m = [0 for _ in range(len(goods))]
    total_v = 0
    for i, (price, weight) in enumerate(goods):
        if w >= weight:
            m[i] = 1
            w -= weight
            total_v += price
        else:
            m[i] = w/weight
            total_v += m[i] * price
            w = 0
            break
    return m, total_v


print(fractional_backpack(goods, 50))

例三：拼接最大数字问题 、

问题：有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数，如何拼接可以使得到的整数最大？

• 例：32、94、128、1286、6、71可以拼接的最大整数为：94716321286128

from functools import cmp_to_key

li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]

def xy_cmp(x, y):
    if x+y > y+x:
        return -1
    elif x+y < y+x:
        return 1
    else:
        return 0

def number_join(li):
    li = list(map(str, li))
    li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))
    return "".join(li)

print(number_join(li))

例四：活动选择问题

问题：假设有n个活动，这些活动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供一个活动使用。

每个活动都有一个开始时间si和结束时间fi（题目中时间以整数表示），表示活动在[si, fi)区间占用场地。

问：安排那些活动能够使该场地举办的活动个数最多？

|----|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| si | 1 | 3 | 0 | 5 | 3 | 5 | 6 | 8 | 8 | 2 | 12 |
| fi | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 16 |

思路：最先结束的活动一定是最优解的一部分。

activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)]

# 保证活动是按照结束时间排好序的
activities.sort(key=lambda x:x[1])

def activity_selection(a):
    res = [a[0]]
    for i in range(1, len(a)):
        if a[i][0] >= res[-1][1]:  # 当前活动的开始时间小于等于最后一个入选活动的结束时间
            res.append(a[i])
    return res

print(activity_selection(activities))

动态规划

介绍：是一种解决复杂问题的数学方法，通常用于优化问题。动态规划将问题分解为更小的子问题，通过解决这些子问题并将它们的解存储起来，最终得到原始问题的解。

思想：

• 最优子结构（递推式）
• 重复子问题

什么问题使用动态规划方法？

• 最优子结构
  • 原问题的最优解中涉及多少个子问题
  • 在确定最优解使用哪些子问题时，需要考虑多少种选择
• 重叠子问题

例一：斐波那契数列

# 子问题的重复计算
def fibnacci(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        return fibnacci(n-1) + fibnacci(n-2)


# 无重复计算，存在列表中------动态规划(DP)
def fibnacci_no_recurision(n):
    f = [0, 1, 1]
    if n > 2:
        for i in range(n-2):
            num = f[-1] + f[-2]
            f.append(num)
    return f[-1]

print(fibnacci_no_recurision(100))

例二：钢条切割问题

思路：

• 设长度为n的钢条切割后的最优收益值为，可以得出递推式：
• 第一个参数表示不切割
• 其他n-1个参数分别表示另外n-1种不同切割方案，对方案i=1,2,...,n-1
  • 将钢条切割为长度为i和n-i两段
  • 方案i的收益为切割两端的最优收益之和
• 考察所有的i，选择其中收益最大的方案

钢条切割问题满足最优子结构，比如长度为9要切为8和1，前面已经算了8的最佳情况，直接使用即可。

自顶向下递归实现

时间复杂度：

p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 27, 28, 30, 33, 36, 39, 40]

def cut_rod_recurision_1(p, n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        res = p[n]
        for i in range(1, n):
            res = max(res, cut_rod_recurision_1(p, i) + cut_rod_recurision_1(p, n-i))
    return res


def cut_rod_recurision_2(p, n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        res = 0
        for i in range(1, n+1):
            res = max(res, p[i] + cut_rod_recurision_2(p, n-i))
    return res

print(cut_rod_recurision_1(p, 15))
print(cut_rod_recurision_2(p, 15))

自底向上动态规划实现

时间复杂度：

p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 27, 28, 30, 33, 36, 39, 40]

def cut_rod_dp(p, n):
    r = [0]
    for i in range(1, n+1):
        res = 0
        for j in range(1, i+1):
            res = max(res, p[j] + r[i-j])
        r.append(res)
    return r[n]

print(cut_rod_dp(p, 9))

重构解

同时输出最优解和最优切割方案

• 对于每个子问题，保存切割一次时左边切下的长度

def cut_rod_extend(p, n):
    r = [0]
    s = [0]
    for i in range(1, n+1):
        res_r = 0  # 记录价格的最大值
        res_s = 0  # 记录价格最大值对应方案的左边不切割部分的长度
        for j in range(1, i+1):
            if p[j] + r[i-j] > res_r:
                res_r = p[j] + r[i-j]
                res_s = j
        r.append(res_r)
        s.append(res_s)
    return r[n], s

def cut_rod_solution(p, n):
    r, s = cut_rod_extend(p, n)
    ans = []
    while n > 0:
        ans.append(s[n])
        n -= s[n]
    return ans

print(cut_rod_solution(p, 9))

例三：最长公共子序列实现

问题：一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。

例："ABCD"和"BDF"都是"ABCDEFG"的子序列

给定两个序列X和Y，求X和Y长度最大的公共子序列

返回最大公共子序列长度

def lcs_length(x, y):
    m = len(x)
    n = len(y)

    # 创建一个二维数组来存储子问题的解
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    # 填充dp数组
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if x[i - 1] == y[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1  # i j 位置上的字符匹配时，来自与左上方
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    # 从dp数组中找到最长公共子序列的长度
    return dp[m][n]


# 测试
x = "abcde"
y = "ace"
print(lcs_length(x, y))

代码自己手动敲一遍理解更深哦！