【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day26|分解质因数|试除法|3377.约数的个数(C++)

3377.约数的个数
3377. 约数的个数 - AcWing题库
难度:简单
时/空限制:1s / 64MB
总通过数:3529
总尝试数:6834
来源: 清华大学考研机试题
算法标签 数学知识约数试除法因式分解

题目内容

输入 n 个整数,依次输出每个数的约数的个数。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数 ai。

输出格式

共 n 行,按顺序每行输出一个给定整数的约数的个数。

数据范围

1≤n≤1000,

1≤ai≤10^9

输入样例:
5
1 3 4 6 12
输出样例:
1
2
3
4
6
题目解析

分别计算每个整数的约数的个数

用试除法的话,时间复杂度是 1 0 9 \sqrt{ 10^9 } 109 ,3万多

有1000个数据

3000万的计算量

优化

求约数个数是有一个公式的

把a的因式分解求出来
a = P 1 a 1 P 2 a 2 ... P k a k a = P_{1}^{a_{1}}P_{2}^{a_{2}}\dots P_{k}^{a_{k}} a=P1a1P2a2...Pkak

a的所有约数d

包含的质因子只能从这k个质因子中选

它不可能包括这k个质因子以外的质因子,如果包含的话就不能整除a了

d的不同就取决于每个质因子的次数


d = P 1 b 1 P 2 b 2 ... P k b k d = P_{1}^{b_{1}}P_{2}^{b_{2}}\dots P_{k}^{b_{k}} d=P1b1P2b2...Pkbk

每个质因子是完全独立的

只要保证
0 ≤ b i ≤ a i 0 \le b_{i} \le a_{i} 0≤bi≤ai

超过的话就不能整除了

只要不超过,就一定是可以整除的,是一个约数

满足这个条件下,d总共有多少种选择

每一个b都是独立的

如果想求选法个数的话,可以用乘法原理

先看一下 b 1 b_{1} b1的选法的数量, b 1 b_{1} b1可以从0选到 a 1 a_{1} a1,所以 b 1 b_{1} b1的选法就是 a 1 + 1 a_{1}+1 a1+1种选择
b 2 b_{2} b2就是 a 2 + 1 a_{2}+1 a2+1

以此类推, b k b_{k} bk的选法数量就是 a k + 1 a_{k}+1 ak+1


因此约数个数就等于

每个质因子次数+1 相乘

可以用分解质因式的方式来求约数个数

代码

试除法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int calc(int x)
{
	//res表示约数个数
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= x / i; i ++)
		if (x % i == 0)
		{
			res ++;
			if (i != x / i) res ++;
		}
	return res;
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		//输出x的约数的个数
		cout << calc(x) << endl;
	}
	return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int calc(int x)
{
	//res表示约数个数
	//要连乘,连乘的零元就是1
	int res = 1;
	//把x分解质因式
	for (int i = 2; i <= x / i; i ++)
		//如果i是x的一个因数的话,i此时一定是质因子
		if (x % i == 0)
		{
			//用s表示i的次数
			int s = 0;
			//把x当中的i除干净
			while (x % i == 0) x /= i, s ++;
			res *= (s + 1);
		}
	//如果x大于1,表示存在大于根号x的质因子,次数是1
	if (x > 1)
		res *= 2;

	return res;
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		//输出x的约数的个数
		cout << calc(x) << endl;
	}
	return 0;
}
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