Scikit-Learn 支持向量机分类
1、支持向量机（SVM）
1.1、SVM概述
在机器学习中，支持向量机（Support Vector Machine，SVM）算法既可以用于回归问题（SVR），也可以用于分类问题（SVC）
支持向量机是一种经典的监督学习算法，通常用于分类问题。SVM在机器学习知识结构中的位置如下：
SVM的核心思想是将分类问题转化为寻找分类平面的问题，并通过最大化分类边界点（支持向量）到分类平面的距离（间隔）来实现分类
如图所示，左图展示了三种可能的线性分类器的决策边界，虚线所代表的模型表现非常糟糕，甚至都无法正确实现分类；其余两个模型在训练集上表现堪称完美，但是它们的决策边界与实例过于接近，导致在面对新样本时，表现可能不会太好
右图中的实线代表SVM分类器的决策边界，两虚线表示最大间隔超平面，虚线之间的距离（两个异类支持向量到超平面的距离之和）称为超平面最大间隔，简称间隔；SVM的决策边界不仅分离了两个类别，而且尽可能的远离了最近的训练实例，距离决策边界最近的实例称为支持向量
1.2、SVM原理
SVM的最优化问题就是要找到各类样本点到超平面的距离最远，也就是找到最大间隔超平面。任意超平面的方程为
ω T x + b = 0 \omega^Tx+b=0 ωTx+b=0
其中 ω \omega ω为超平面的法向量，决定了超平面的方向； b b b为位移项，决定了超平面到原点间的距离
二维空间点 ( x , y ) (x,y) (x,y)到直线 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0的距离公式为
d = ∣ A x + B y + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 ∣Ax+By+C∣
扩展到N维空间中，点 ( x 1 , x 2 , . . . x n ) (x_1,x_2,...x_n) (x1,x2,...xn)到直线 ω T x + b = 0 \omega^Tx+b=0 ωTx+b=0的距离为
d = ∣ ω T x + b ∣ ∣ ∣ ω ∣ ∣ d=\frac{|\omega^Tx+b|}{||\omega||} d=∣∣ω∣∣∣ωTx+b∣
其中， ∣ ∣ ω ∣ ∣ ||\omega|| ∣∣ω∣∣= ω 1 2 + ω 2 2 + . . . + ω n 2 \sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2+...+\omega_n^2} ω12+ω22+...+ωn2
SVM假设样本是线性可分的，则任意样本点到超平面的距离可写为
d = ∣ ω T x + b ∣ ∣ ∣ ω ∣ ∣ d=\frac{|\omega^Tx+b|}{||\omega||} d=∣∣ω∣∣∣ωTx+b∣
为方便描述和计算，设 y i ∈ − 1 , 1 y_i\in{-1,1} yi∈−1,1，其中1表示正例，-1表示负例，则有
{ ω T x i + b ≥ + 1 y i = + 1 ω T x i + b ≤ − 1 y i = − 1 \begin{cases} \omega^Tx_i + b ≥ +1 \, \, & y_i=+1 \\ \omega^T x_i+b ≤ -1 \, \, & y_i=-1 \end{cases} {ωTxi+b≥+1ωTxi+b≤−1yi=+1yi=−1
此时，两个异类支持向量到超平面的距离之和为
γ i = y i ( ω T ∣ ∣ ω ∣ ∣ ⋅ x i + b ∣ ∣ ω ∣ ∣ ) = 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ \gamma_i=y_i\left(\frac{\omega^T}{||\omega||}\cdot x_i + \frac{b}{||\omega||} \right) = \frac{2}{||\omega||} γi=yi(∣∣ω∣∣ωT⋅xi+∣∣ω∣∣b)=∣∣ω∣∣2
其中， γ \gamma γ称为间隔。最大间隔不仅与 ω \omega ω有关，偏置 b b b也会隐性影响超平面的位置，进而对间隔产生影响
现在，我们只需要使间隔 γ \gamma γ最大，即
arg max ω , b 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ \arg \mathop{\max}\limits_{\omega,b} \frac{2}{||\omega||} argω,bmax∣∣ω∣∣2
最大化间隔 γ \gamma γ，显然只需要最小化 ∣ ∣ ω ∣ ∣ ||\omega|| ∣∣ω∣∣，于是，上式可重写为
arg min ω , b 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 \arg \mathop{\min}\limits_{\omega,b} \frac{1}{2}||\omega||^2 argω,bmin21∣∣ω∣∣2
这里的平方和之前一样，一是为了方便计算，二是可以将目标函数转化为凸函数的凸优化问题。称该式为SVM的基本型
1.3、SVM的损失函数
1.3.1、软间隔与硬间隔
如果我们严格让所有实例都不在最大间隔之间，并且位于正确的一边，这就是硬间隔分类。但是硬间隔分类有两个问题：首先，它只在数据是线性可分时才有效；其次，它对异常值较敏感
要避免这些问题，可以使用更灵活的模型。目标是尽可能在保持最大间隔的同时允许间隔违例（在最大间隔之间，甚至位于错误的一边），在最大间隔与违例之间找到良好的平衡，这就是软间隔分类
软间隔的目标函数为
J = 1 2 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 2 + C ∑ i = 1 n ε i J=\frac{1}{2}||\omega||^2 + C\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_i J=21∣∣ω∣∣2+Ci=1∑nεi
其中，超参数 C C C为惩罚系数， ε \varepsilon ε为松弛因子。 C C C越小，惩罚越小（间隔越宽，违例越多）
1.3.2、核函数
未完待续...