齐次变换矩阵、欧拉角

齐次变换矩阵

因为老是忘记齐次变换矩阵的含义以及方向，每次推导公式都很费劲，写下这篇文章用于快速回顾齐次变换矩阵。

表示的是：坐标系A到坐标系B的齐次变换矩阵，也是坐标系B在坐标系A下的位姿。

对于这个矩阵，有三个物理意义：

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(1)坐标变换：通过变换矩阵可以获得{B}坐标系下的向量(坐标)在{A}坐标系下的描述(坐标)。

(2)坐标系的描述：描述了坐标系{B}在{A}下的位姿(位置和姿态)

(3)可以作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中，描述了某个刚体的运动情况。

将B坐标系下的点或者向量左乘这个齐次变换矩阵，能够得到坐标系A下的坐标描述

后续的讲解均以这个齐次变换矩阵进行描述。

旋转矩阵如何计算

常用右手系。首先要确定旋转的正反方向，用右手的大拇指指向旋转轴的正方向，弯曲手指手指。手指方向即是轴的正旋转方向。

那么绕各个坐标轴的旋转θ角可以用如下的旋转矩阵R（注意是左乘）表示：

平移矩阵如何计算

坐标系A是固定坐标系，坐标系B进行移动。

其实就是坐标系原点的偏移，平移部分其实就是坐标系B的原点在坐标系A下的坐标

实例

一开始坐标系B和坐标系A重合，首先**B相对于A的Z轴逆时针（视线沿着z轴正方向）旋转90°（此时旋转方向为负，应该取-90°），然后沿着A的x轴移动-3.75个单位，沿着A的y轴移动26.25个方向，**那么最终的齐次变换矩阵为

欧拉角和齐次变换矩阵互相转换

欧拉角以ZYX顺序，输入为弧度

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Eigen::Matrix3d rpy2R(const Eigen::Vector3d& rpy) // 单位为弧度
{
	double roll = rpy[0]; // A - Roll (绕X轴旋转)
	double pitch = rpy[1];// B - Pitch (绕Y轴旋转)
	double yaw = rpy[2];// C - Yaw (绕Z轴旋转)

	Eigen::Matrix3d rotation_matrix; // 按照ZYX 即yaw pitch roll顺序计算得到
	rotation_matrix = Eigen::AngleAxisd(yaw, Eigen::Vector3d::UnitZ())
		* Eigen::AngleAxisd(pitch, Eigen::Vector3d::UnitY())
		* Eigen::AngleAxisd(roll, Eigen::Vector3d::UnitX());

	return rotation_matrix; // 输出单位为mm

}

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Eigen::Vector3d R2ypr(const Eigen::Matrix3d& rotation_matrix) // 旋转矩阵必须严格按照ZYX顺序得到的，且单位为mm
{
	double roll, pitch, yaw;

	if (rotation_matrix(2, 0) < 1) {
		if (rotation_matrix(2, 0) > -1) {
			pitch = asin(-rotation_matrix(2, 0));
			yaw = atan2(rotation_matrix(1, 0), rotation_matrix(0, 0));
			roll = atan2(rotation_matrix(2, 1), rotation_matrix(2, 2));
		}
		else { // 仰角为 -90 度
			pitch = -M_PI / 2.0;
			yaw = -atan2(-rotation_matrix(1, 2), rotation_matrix(1, 1));
			roll = 0;
		}
	}
	else { // 俯角为 90 度
		pitch = M_PI / 2.0;
		yaw = atan2(-rotation_matrix(1, 2), rotation_matrix(1, 1));
		roll = 0;
	}

	// 将弧度转换为度数
	roll = roll * 180.0 / M_PI;
	pitch = pitch * 180.0 / M_PI;
	yaw = yaw * 180.0 / M_PI;

	Eigen::Vector3d rpy;
	rpy[0] = roll, rpy[1] = pitch, rpy[2] = yaw;
	return rpy; // 输出单位为度数
}