齐次变换矩阵
因为老是忘记齐次变换矩阵的含义以及方向,每次推导公式都很费劲,写下这篇文章用于快速回顾齐次变换矩阵。
表示的是:坐标系A到坐标系B的齐次变换矩阵,也是坐标系B在坐标系A下的位姿。
对于这个矩阵,有三个物理意义:
(1)坐标变换:通过变换矩阵可以获得{B}坐标系下的向量(坐标)在{A}坐标系下的描述(坐标)。
(2)坐标系的描述:描述了坐标系{B}在{A}下的位姿(位置和姿态)
(3)可以作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中,描述了某个刚体的运动情况。
将B坐标系下的点或者向量左乘这个齐次变换矩阵,能够得到坐标系A下的坐标描述
后续的讲解均以这个齐次变换矩阵进行描述。
旋转矩阵如何计算
常用右手系。首先要确定旋转的正反方向,用右手的大拇指指向旋转轴的正方向,弯曲手指手指。手指方向即是轴的正旋转方向。
那么绕各个坐标轴的旋转θ角可以用如下的旋转矩阵R(注意是左乘)表示:
平移矩阵如何计算
坐标系A是固定坐标系,坐标系B进行移动。
其实就是坐标系原点的偏移,平移部分其实就是坐标系B的原点在坐标系A下的坐标
实例
一开始坐标系B和坐标系A重合,首先**B相对于A的Z轴逆时针(视线沿着z轴正方向)旋转90°(此时旋转方向为负,应该取-90°),然后沿着A的x轴移动-3.75个单位,沿着A的y轴移动26.25个方向,**那么最终的齐次变换矩阵为
欧拉角和齐次变换矩阵互相转换
欧拉角以ZYX顺序,输入为弧度
cpp
Eigen::Matrix3d rpy2R(const Eigen::Vector3d& rpy) // 单位为弧度
{
double roll = rpy[0]; // A - Roll (绕X轴旋转)
double pitch = rpy[1];// B - Pitch (绕Y轴旋转)
double yaw = rpy[2];// C - Yaw (绕Z轴旋转)
Eigen::Matrix3d rotation_matrix; // 按照ZYX 即yaw pitch roll顺序计算得到
rotation_matrix = Eigen::AngleAxisd(yaw, Eigen::Vector3d::UnitZ())
* Eigen::AngleAxisd(pitch, Eigen::Vector3d::UnitY())
* Eigen::AngleAxisd(roll, Eigen::Vector3d::UnitX());
return rotation_matrix; // 输出单位为mm
}
cpp
Eigen::Vector3d R2ypr(const Eigen::Matrix3d& rotation_matrix) // 旋转矩阵必须严格按照ZYX顺序得到的,且单位为mm
{
double roll, pitch, yaw;
if (rotation_matrix(2, 0) < 1) {
if (rotation_matrix(2, 0) > -1) {
pitch = asin(-rotation_matrix(2, 0));
yaw = atan2(rotation_matrix(1, 0), rotation_matrix(0, 0));
roll = atan2(rotation_matrix(2, 1), rotation_matrix(2, 2));
}
else { // 仰角为 -90 度
pitch = -M_PI / 2.0;
yaw = -atan2(-rotation_matrix(1, 2), rotation_matrix(1, 1));
roll = 0;
}
}
else { // 俯角为 90 度
pitch = M_PI / 2.0;
yaw = atan2(-rotation_matrix(1, 2), rotation_matrix(1, 1));
roll = 0;
}
// 将弧度转换为度数
roll = roll * 180.0 / M_PI;
pitch = pitch * 180.0 / M_PI;
yaw = yaw * 180.0 / M_PI;
Eigen::Vector3d rpy;
rpy[0] = roll, rpy[1] = pitch, rpy[2] = yaw;
return rpy; // 输出单位为度数
}