矩阵中QR算法分解简介和基于Eigen库使用示例

QR 算法是一种用于**特征值分解（Eigen Decomposition）**的迭代数值方法。广泛应用于求解实对称矩阵的特征值与特征向量，是现代数值线性代数中核心算法之一。

一、定义与目标

**QR算法（QR Algorithm）**是一种迭代方法，目标是对矩阵 $A$ 求其特征值：

输入：A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}A∈Rn×n（一般为实对称矩阵）
输出：AAA 的特征值和特征向量

该算法通过将矩阵分解为：

Ak=QkRk A_k = Q_k R_k Ak=QkRk

然后重新组合得到：

Ak+1=RkQk A_{k+1} = R_k Q_k Ak+1=RkQk

重复这个过程，多次迭代后 A_kA\_kA_k 收敛为一个上三角矩阵，其对角元素即为特征值。

二、原理与推导

假设 $A$ 可对角化：

A=VΛV−1 A = V \Lambda V^{-1} A=VΛV−1

若我们不断对 $A_k$ 做 QR 分解：

Ak=QkRk⇒Ak+1=RkQk A_k = Q_k R_k \Rightarrow A_{k+1} = R_k Q_k Ak=QkRk⇒Ak+1=RkQk

则：

Ak+1=QkTAkQk A_{k+1} = Q_k^T A_k Q_k Ak+1=QkTAkQk

这是一个相似变换（Similarity Transformation），意味着 $A_{k+1}$ 与 $A_k$ 拥有相同特征值。

由于 $A_k$ 是逐步对角化的，最终趋于上三角矩阵，其对角线收敛到 $A$ 的特征值。

三、算法步骤

原始 QR 算法（无加速）

初始化： $A_0 = A$
对 $A_k$ 做 QR 分解：

Ak=QkRk A_k = Q_k R_k Ak=QkRk
计算 $A_{k+1} = R_k Q_k$
判断是否收敛（如 $\|A_{k+1} - A_k\| \< \\epsilon$ ）
重复步骤 2~4

改进：带位移的 QR 算法（Shifted QR）

通过引入位移（shift） $\\mu_k$ 加快收敛速度：

Ak−μkI=QkRk⇒Ak+1=RkQk+μkI A_k - \mu_k I = Q_k R_k \Rightarrow A_{k+1} = R_k Q_k + \mu_k I Ak−μkI=QkRk⇒Ak+1=RkQk+μkI

位移常选为 $A_k$ 的最后一行最后一列的元素（Wilkinson shift）。

四、应用场景

应用	描述
特征值计算	高效计算中小型矩阵的所有特征值
PCA	QR 算法可用于求协方差矩阵的特征值（降维）
结构力学	解析振动系统特征频率
图像压缩	SVD（特征值分解的推广）相关算法
SLAM 优化	QR 用于线性系统求解，如 BA 优化中稀疏 QR

五、C++ 实现示例（使用 Eigen 库）

示例1

cpp 复制代码

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main() {
    MatrixXd A(3, 3);
    A << 2, -1, 0,
         -1, 2, -1,
          0, -1, 2;

    MatrixXd Ak = A;
    int maxIter = 100;
    double tol = 1e-8;

    for (int k = 0; k < maxIter; ++k) {
        HouseholderQR<MatrixXd> qr(Ak);
        MatrixXd Q = qr.householderQ();
        MatrixXd R = qr.matrixQR().triangularView<Upper>();
        Ak = R * Q;

        // 检查是否近似对角化
        MatrixXd offDiag = Ak - Ak.diagonal().asDiagonal();
        if (offDiag.norm() < tol) break;
    }

    cout << "近似对角矩阵 Ak:\n" << Ak << endl;
    cout << "特征值(近似)：\n" << Ak.diagonal().transpose() << endl;

    return 0;
}

示例2-Eigen::SparseQR 示例

依赖：

#include <Eigen/Sparse>
#include <Eigen/SparseQR>

示例代码：稀疏 QR 解线性系统 $Ax = b$