一. 什么是t检验
设总体 X ∼ N ( μ , δ 2 ) X\sim N(\mu,\delta^2) X∼N(μ,δ2)，其中 μ , δ 2 \mu, \delta^2 μ,δ2未知，统计量 t = X ‾ − μ S / n t = \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} t=S/n X−μ服从标准正太分布，可以利用该统计量对总体均值 μ \mu μ进行假设检验，这种检验方法称为 t t t检验法。
适用条件：总体服从正态分布且方差未知；样本容量较小，一般小于30。
二. 常见t检验的实现
1. 单样本t检验
| 原假设 H 0 H_0 H0 | 备则假设 H 1 H_1 H1 | 拒绝域 |
|---|---|---|
| μ ≤ μ 0 \mu \leq \mu_0 μ≤μ0 | μ > μ 0 \mu > \mu_0 μ>μ0 | t > t α ( n − 1 ) t > t_\alpha(n - 1) t>tα(n−1) |
| μ ≥ μ 0 \mu \geq \mu_0 μ≥μ0 | μ < μ 0 \mu < \mu_0 μ<μ0 | t < − t α ( n − 1 ) t < -t_\alpha(n - 1) t<−tα(n−1) |
| μ = μ 0 \mu = \mu_0 μ=μ0 | μ ≠ μ 0 \mu \neq \mu_0 μ=μ0 | ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − 1 ) |t| > t_{\alpha/2}(n - 1) ∣t∣>tα/2(n−1) |
某元件的寿命 X X X服从参数为 N ( μ , δ 2 ) N(\mu, \delta^2) N(μ,δ2)的正太分布， μ , δ \mu,\delta μ,δ未知，现抽取10个元件测得元件的寿命的平均值为240小时，标准差为50，问是否有理由认为元件总体的平均寿命大于225小时？
因为总体的方差 δ \delta δ未知,且样本量小于10，因此需要使用 t t t检验，设置信水平 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05
H 0 : u ≥ 225 H 1 : u < 225 H_0: u \geq 225\space H_1: u < 225 H0:u≥225 H1:u<225
代码实现：
python
from scipy.stats import t
import math
if __name__ == '__main__':
n = 10
sample_mean = 240
sample_std = 50
alpha = 0.05
t_statistic = (sample_mean - 225) / (sample_std / math.sqrt(n))
t_left = t(n - 1).ppf(alpha)
print("t_left:", round(t_left, 3), "t_statistic:", round(t_statistic, 3))
pval = t(n - 1).cdf(t_statistic)
if t_statistic < t_left:
print("reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))
else:
print("not reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))运行结果：
bash
t_left: -1.833 t_statistic: 0.949
not reject null hypothesis, pval is 0.8162. 配对t检验
配对t检验一般用于比较同一研究对象处理前与处理后的效果比较，又称为重复测量设计下均值差异的检验。比如医学上药物效果的检验。
| 原假设 H 0 H_0 H0 | 备则假设 H 1 H_1 H1 | 拒绝域 |
|---|---|---|
| μ D ≤ 0 \mu_D \leq 0 μD≤0 | μ D > 0 \mu_D > 0 μD>0 | t > t α ( n − 1 ) t > t_\alpha(n - 1) t>tα(n−1) |
| μ D ≥ 0 \mu_D \geq 0 μD≥0 | μ D < 0 \mu_D < 0 μD<0 | t < − t α ( n − 1 ) t < -t_\alpha(n - 1) t<−tα(n−1) |
| μ D = 0 \mu_D = 0 μD=0 | μ D ≠ 0 \mu_D \neq 0 μD=0 | ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − 1 ) |t| > t_{\alpha/2}(n - 1) ∣t∣>tα/2(n−1) |
某研究者为了研究新型降压药的效果，现收集了8名高血压患者服药前和服药后的血压数据。
| 高血压患者 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 服药前 | 137 | 135 | 132 | 151 | 132 | 150 | 142 | 145 |
| 服药后 | 124 | 129 | 135 | 144 | 123 | 142 | 142 | 134 |
| 差值 | 13 | 6 | -3 | 7 | 9 | 8 | 0 | 11 |
现在想知道该药物对高血压患者是否有明显效果？
要想验证药物是否有效，只需要验证服药前与服药后差异值的均值与0的关系，如果差值小于等于0则说明药物对高血压没有效果，反之则证明有效。设置信水平 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05
μ D : u ≤ 0 H 1 : μ D > 0 \mu_D: u \leq 0\space H_1: \mu_D > 0 μD:u≤0 H1:μD>0
代码实现：
python
from scipy.stats import t
import math
import numpy as np
if __name__ == '__main__':
diff = [13, 6, -3, 7, 9, 8, 0, 11]
diff_mean = np.mean(diff)
diff_std = np.std(diff, ddof=1)
diff_length = len(diff)
alpha = 0.05
t_statistic = diff_mean / (diff_std / math.sqrt(diff_length))
t_right = t(diff_length - 1).ppf(1 - alpha)
print("t_right:", round(t_right, 3))
print("t_statistic:", round(t_statistic, 3))
pval = t(diff_length - 1).sf(t_statistic)
if t_statistic > t_right:
print("reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))
else:
print("not reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))运行结果：
bash
t_right: 1.895
t_statistic: 3.341
reject null hypothesis, pval is 0.006拒绝原假设，因此说明该药物对降压有明显效果。
3. 两样本t检验
设 X 1 , X 2 . . . X n 1 X_1,X_2...X_{n1} X1,X2...Xn1是来自正太总体 N ( μ 1 , δ 1 2 ) N(\mu_1, \delta_1^2) N(μ1,δ12)的样本, Y 1 , Y 2 . . . Y n 2 Y_1,Y_2...Y_{n2} Y1,Y2...Yn2是来自正太总体 N ( μ 2 , δ 2 2 ) N(\mu_2, \delta_2^2) N(μ2,δ22)的样本，且两样本独立， μ 1 , μ 2 , δ 1 2 , δ 2 2 \mu_1,\mu_2,\delta_1^2,\delta_2^2 μ1,μ2,δ12,δ22均未知。统计量 ( X ‾ − Y ‾ ) − δ S w 1 n 1 + 1 n 2 \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - \delta}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} Swn11+n21 (X−Y)−δ服从 t ( n 1 + n 2 − 2 ) t(n_1 + n_2 - 2) t(n1+n2−2)的分布。
其中 X ‾ , Y ‾ \overline{X},\overline{Y} X,Y分别为两样本的均值， n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2为两样本的容量， δ = μ 1 − μ 2 \delta = \mu_1 - \mu_2 δ=μ1−μ2, S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 S_w^2=\frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22, S w = S w 2 S_w = \sqrt{S_w^2} Sw=Sw2
两样本t检验主要用来对两个总体的均值之间的关系做假设检验。
| 原假设 H 0 H_0 H0 | 备则假设 H 1 H_1 H1 | 拒绝域 |
|---|---|---|
| μ 1 − μ 2 ≤ δ \mu_1 - \mu_2 \leq \delta μ1−μ2≤δ | μ 1 − μ 2 > δ \mu_1 - \mu_2 > \delta μ1−μ2>δ | t > t α ( n 1 + n 2 − 2 ) t > t_\alpha(n_1 + n_2- 2) t>tα(n1+n2−2) |
| μ 1 − μ 2 ≥ δ \mu_1 - \mu_2\geq \delta μ1−μ2≥δ | μ 1 − μ 2 < δ \mu_1 - \mu_2 < \delta μ1−μ2<δ | t < t α ( n 1 + n 2 − 2 ) t < t_\alpha(n_1 + n_2- 2) t<tα(n1+n2−2) |
| μ 1 − μ 2 = δ \mu_1 - \mu_2 = \delta μ1−μ2=δ | μ 1 − μ 2 ≠ δ \mu_1 - \mu_2 \neq \delta μ1−μ2=δ | ∣ t ∣ > t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) |t| > t_{\alpha/2}(n_1 + n_2- 2) ∣t∣>tα/2(n1+n2−2) |
一家香水的制造商共有两条生产线，现在对两条生产线进行抽样，A生产线抽取18个样本，样本均值为80，样本标准差为5，B生产线抽取20个样本，样本均值为76，样本标准差为4。问这两条生产线所生产的香水的平均分量是否相同？
在 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05的水平下做出如下假设：
H 0 : μ A − μ B = 0 H 1 : μ A − μ B ≠ 0 H_0:\mu_A - \mu_B = 0\space\space H_1:\mu_A - \mu_B \neq 0 H0:μA−μB=0 H1:μA−μB=0
代码实现：
python
from scipy.stats import t
import math
if __name__ == '__main__':
n1 = 18
n2 = 20
sample_mean1 = 80
sample_mean2 = 76
sample_std1 = 5
sample_std2 = 4
alpha = 0.05
sw = math.sqrt(((n1 - 1) * sample_std1**2 + (n2 - 1) * sample_std2**2) / (n1 + n2 - 2))
t_statistic = (sample_mean1 - sample_mean2) / (sw * math.sqrt(1 / n1 + 1/ n2))
t_left = t(n1 + n2 - 2).ppf(alpha/2)
t_right = t(n1 + n2 - 2).ppf(1 - alpha/2)
print("t_left:", round(t_left, 3), "t_right:", round(t_right, 3))
print("t_statistic:", round(t_statistic, 3))
if t_statistic >= t_right:
pval = t(n1 + n2 -2).sf(t_statistic) * 2
else:
pval = 2 * t(n1 + n2 - 2)
if t_statistic < t_left or t_statistic > t_right:
print("reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))
else:
print("not reject null hypothesis, pval is", round(pval, 3))运行结果：
bash
t_left: -2.028 t_right: 2.028
t_statistic: 2.736
reject null hypothesis, pval is 0.01