在 《假设检验（二）（正态总体参数的假设检验）》中我们讨论了形如 H 0 : θ = θ 0 ↔ H 1 : θ ≠ θ 0 H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \neq \theta_0 H0:θ=θ0↔H1:θ=θ0 的假设检验问题，其中原假设 H 0 H_0 H0 为简单假设，备择假设 H 1 H_1 H1 所表示的参数区域在 H 0 H_0 H0 的参数区域的两侧，因而这样的假设称为双侧假设 或双边假设。
在实际问题中，有时会遇到形如 H 0 : θ ≤ θ 0 ↔ H 1 : θ > θ 0 H_0:\theta\le\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta > \theta_0 H0:θ≤θ0↔H1:θ>θ0、 H 0 : θ ≥ θ 0 ↔ H 1 : θ < θ 0 H_0:\theta \ge \theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta < \theta_0 H0:θ≥θ0↔H1:θ<θ0 等等的假设。在这些假设中，备择假设 H 1 H_1 H1 所表示的参数区域在 H 0 H_0 H0 的参数区域的一侧，因而这样的假设称为单侧假设 或单边假设。
例：设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2) 的样本， μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2 均未知，要检验
H 0 : μ = μ 0 ↔ H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu > \mu_0 H0:μ=μ0↔H1:μ>μ0 取 T = n ( X ˉ − μ 0 ) S ∗ T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S^*} T=S∗n (Xˉ−μ0) 作为检验统计量。当 H 0 H_0 H0 成立时，一方面， T ∼ t ( n − 1 ) T \sim t(n-1) T∼t(n−1)，另一方面， T T T 的取值应在 0 附近，即 T T T 取过分大的正值将不利于 H 0 H_0 H0，因而 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { T ≥ k } W=\{T \ge k\} W={T≥k} 的形式。
对给定的水平 α \alpha α，查 t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1) 分布表，得 k = t α ( n − 1 ) k=t_\alpha(n-1) k=tα(n−1)，使得 P { T ≥ t α ( n − 1 ) } = α P\{T \ge t_\alpha(n-1)\}=\alpha P{T≥tα(n−1)}=α，故得 H 0 H_0 H0 的拒绝域为
W = { T ≥ t α ( n − 1 ) } W=\{T \ge t_\alpha(n-1)\} W={T≥tα(n−1)}
例：设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2) 的样本， μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2 均未知，要检验
H 0 : μ ≤ μ 0 ↔ H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu \le \mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu > \mu_0 H0:μ≤μ0↔H1:μ>μ0 仍取 T = n ( X ˉ − μ 0 ) S ∗ T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S^*} T=S∗n (Xˉ−μ0) 作为检验统计量。当 H 0 H_0 H0 成立时， T T T 应偏向取负值，即 T T T 取过分大得正值将不利于 H 0 H_0 H0，因而 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { T ≥ k } W=\{T \ge k\} W={T≥k} 的形式。
与上例不同，现在当 H 0 H_0 H0 成立时，表示 μ ≤ μ 0 \mu \le \mu_0 μ≤μ0，因此
T = n ( X ˉ − μ 0 ) S ∗ ≤ T = n ( X ˉ − μ ) S ∗ ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S^*} \le T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \sim t(n-1) T=S∗n (Xˉ−μ0)≤T=S∗n (Xˉ−μ)∼t(n−1) （注意，当 H 0 H_0 H0 成立时， T T T 本身未必服从 t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1) 分布）由上述不等式得
P H 0 { n ( X ˉ − μ 0 ) S ∗ ≥ k } ≤ P H 0 { n ( X ˉ − μ ) S ∗ ≥ k } P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S^*}\ge k \right\} \le P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}\ge k \right\} PH0{S∗n (Xˉ−μ0)≥k}≤PH0{S∗n (Xˉ−μ)≥k} 对给定的水平 α \alpha α，查 t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1) 分布表，得 k = t α ( n − 1 ) k=t_\alpha(n-1) k=tα(n−1)，使得
P H 0 { n ( X ˉ − μ ) S ∗ ≥ t α ( n − 1 ) } = α P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \ge t_\alpha(n-1) \right\}=\alpha PH0{S∗n (Xˉ−μ)≥tα(n−1)}=α 则
P H 0 ( W ) = P H 0 { T ≥ t α ( n − 1 ) } ≤ P H 0 { n ( X ˉ − μ ) S ∗ ≥ t α ( n − 1 ) } = α P_{H_0}(W)=P_{H_0}\{T \ge t_\alpha(n-1)\} \le P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \ge t_\alpha(n-1) \right\}=\alpha PH0(W)=PH0{T≥tα(n−1)}≤PH0{S∗n (Xˉ−μ)≥tα(n−1)}=α 这表明 H 0 H_0 H0 的水平 α \alpha α 的拒绝域为
W = { T ≥ t α ( n − 1 ) } W=\{T \ge t_\alpha(n-1)\} W={T≥tα(n−1)}
尽管以上两个例子中，原假设 H 0 H_0 H0 的形式不同，实际意义也不一样，但在同一水平 α \alpha α 下，它们的拒绝域却是相同的，即检验规则是相同的。因此在对正态总体的参数作单侧假设检验时，当遇到原假设 H 0 H_0 H0 及备择假设 H 1 H_1 H1 均为复合形式的单侧假设，可以考虑先将原假设换成简单假设，再进行讨论。
参考文献
[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。