假设检验（二）（正态总体参数的假设检验）

文章目录

• 一个正态总体的情形
• • [总体均值 μ \mu μ 的检验](#总体均值 μ \mu μ 的检验)
  • [总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的检验------ χ 2 \chi^2 χ2 检验](#总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的检验—— χ 2 \chi^2 χ2 检验)
• 两个正态总体的情形
• • [两总体均值差的检验------ t t t 检验](#两总体均值差的检验—— t t t 检验)
  • [两总体方差比的检验------ F F F 检验](#两总体方差比的检验—— F F F 检验)
• 参考文献

在作假设检验时，若检验统计量服从正态分布，则称该检验为 u u u 检验；若检验统计量服从 χ 2 \chi^2 χ2 分布、 t t t 分布或 F F F 分布，则相应的检验称为 χ 2 \chi^2 χ2 检验、 t t t 检验或 F F F 检验。

一个正态总体的情形

设已给定水平 α \alpha α，并设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) 的样本， X ˉ \bar{X} Xˉ 和 S ∗ 2 S^{*2} S∗2 分别为样本均值和修正样本方差。

总体均值 μ \mu μ 的检验

欲检验假设 H 0 : μ = μ 0 ↔ H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu \neq \mu_0 H0:μ=μ0↔H1:μ=μ0 这里 μ 0 \mu_0 μ0 是一个已知数。下面分总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 为已知和未知两种情形进行讨论。

(1) 方差 σ 2 \sigma^2 σ2 已知 ------ u u u 检验

用 σ 0 2 \sigma^2_0 σ02 表示这一已知的总体方差。 X ˉ \bar{X} Xˉ 是 μ \mu μ 的最优无偏估计，如果 H 0 H_0 H0 成立，那么 X ˉ \bar{X} Xˉ 与 μ 0 \mu_0 μ0 应当很靠近，即 ∣ X ˉ − μ 0 ∣ |\bar{X}-\mu_0| ∣Xˉ−μ0∣ 过分偏大将不利于 H 0 H_0 H0。故 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 ∣ X ˉ − μ 0 ∣ ≥ c 0 |\bar{X}-\mu_0| \ge c_0 ∣Xˉ−μ0∣≥c0 的形式。构造如下检验统计量： U = n ( X ˉ − μ 0 ) σ 0 ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0} \sim N(0,1) U=σ0n (Xˉ−μ0)∼N(0,1) 则 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { ∣ X ˉ − μ 0 ∣ ≥ c 0 } = { ∣ U ∣ ≥ n c 0 σ 0 } W=\{|\bar{X}-\mu_0| \ge c_0\}=\left\{ |U| \ge \frac{\sqrt{n}c_0}{\sigma_0}\right\} W={∣Xˉ−μ0∣≥c0}={∣U∣≥σ0n c0} 对给定的水平 α \alpha α，查 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) 分布表，得 u α / 2 u_{\alpha/2} uα/2，使得 P { ∣ U ∣ ≥ u α / 2 } = α P\{|U| \ge u_{\alpha/2}\}=\alpha P{∣U∣≥uα/2}=α，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域为 W = { ∣ U ∣ ≥ u α / 2 } W=\{|U| \ge u_{\alpha/2}\} W={∣U∣≥uα/2} 由一次抽样所得的样本值 ( x 1 , . . . , x n ) T (x_1,...,x_n)^T (x1,...,xn)T 算出 U U U 的观察值 u = n ( x ˉ − μ 0 ) σ 0 u=\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)}{\sigma_0} u=σ0n (xˉ−μ0)，

• 若 ∣ u ∣ ≥ u α / 2 |u| \ge u_{\alpha/2} ∣u∣≥uα/2，则拒绝原假设 H 0 H_0 H0；
• 若 ∣ u ∣ < u α / 2 |u| < u_{\alpha/2} ∣u∣<uα/2，则接受原假设 H 0 H_0 H0；

(2) 方差 σ 2 \sigma^2 σ2 未知 ------ t t t 检验

选取 T = n ( X ˉ − μ 0 ) S ∗ ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S^*} \sim t(n-1) T=S∗n (Xˉ−μ0)∼t(n−1) 作为检验统计量。在 H 0 H_0 H0 成立条件下， ∣ T ∣ |T| ∣T∣ 过分偏大将不利于 H 0 H_0 H0，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { ∣ T ∣ ≥ k 0 } W=\{|T| \ge k_0\} W={∣T∣≥k0} 的形式。对给定的水平 α \alpha α，查 t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1) 分布表，得 k = t α / 2 ( n − 1 ) k=t_{\alpha/2}(n-1) k=tα/2(n−1)，使得 P { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n − 1 ) } = α P\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)\}=\alpha P{∣T∣≥tα/2(n−1)}=α，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域为 W = { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n − 1 ) } W=\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)\} W={∣T∣≥tα/2(n−1)} 由一次抽样所得的样本值 ( x 1 , . . . , x n ) T (x_1,...,x_n)^T (x1,...,xn)T 算出 T T T 的观察值 t = n ( x ˉ − μ 0 ) s ∗ t=\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)}{s^*} t=s∗n (xˉ−μ0)，

• 若 ∣ t ∣ ≥ t α / 2 ( n − 1 ) |t| \ge t_{\alpha/2}(n-1) ∣t∣≥tα/2(n−1)，则拒绝原假设 H 0 H_0 H0；
• 若 ∣ t ∣ < t α / 2 ( n − 1 ) |t| < t_{\alpha/2}(n-1) ∣t∣<tα/2(n−1)，则接受原假设 H 0 H_0 H0；

总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的检验------ χ 2 \chi^2 χ2 检验

欲检验假设 H 0 : σ 2 = σ 0 2 ↔ H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2 H_0:\sigma^2=\sigma^2_0 \leftrightarrow H_1:\sigma^2 \neq \sigma^2_0 H0:σ2=σ02↔H1:σ2=σ02 这里 σ 0 2 \sigma^2_0 σ02 是一个已知数。下面只讨论 μ \mu μ 未知的情形。

选取 χ 2 = ( n − 1 ) S ∗ 2 σ 0 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2=\frac{(n-1)S^{*2}}{\sigma^2_0} \sim \chi^2(n-1) χ2=σ02(n−1)S∗2∼χ2(n−1) 作为检验统计量，由于 S ∗ 2 S^{*2} S∗2 是 σ 2 \sigma^2 σ2 的无偏估计，当 H 0 H_0 H0 成立时， ( n − 1 ) S ∗ 2 σ 0 2 \frac{(n-1)S^{*2}}{\sigma^2_0} σ02(n−1)S∗2 应在 n − 1 n-1 n−1 附件， χ 2 \chi^2 χ2 过分偏小或过分偏大将不利于 H 0 H_0 H0，因此 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { χ 2 ≤ k 1 ⋃ χ 2 ≥ k 2 } W=\{\chi^2 \le k_1 \bigcup \chi^2 \ge k_2\} W={χ2≤k1⋃χ2≥k2} 的形式。对给定的水平 α \alpha α，查 χ 2 ( n − 1 ) \chi^2(n-1) χ2(n−1) 分布表，得 k 1 = χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) , k 2 = χ α / 2 2 ( n − 1 ) k_1=\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1),k_2=\chi^2_{\alpha/2}(n-1) k1=χ1−α/22(n−1),k2=χα/22(n−1)，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域为 W = { χ 2 ≤ χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ⋃ χ 2 ≥ χ α / 2 2 ( n − 1 ) } W=\{\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \bigcup \chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1)\} W={χ2≤χ1−α/22(n−1)⋃χ2≥χα/22(n−1)} 由一次抽样所得的样本值 ( x 1 , . . . , x n ) T (x_1,...,x_n)^T (x1,...,xn)T 算出 χ 2 \chi^2 χ2 的观察值 χ 2 = ( n − 1 ) s ∗ 2 σ 0 2 \chi^2=\frac{(n-1)s^{*2}}{\sigma^2_0} χ2=σ02(n−1)s∗2，

• 若 χ 2 ≤ χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) \chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) χ2≤χ1−α/22(n−1) 或者 χ 2 ≥ χ α / 2 2 ( n − 1 ) \chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1) χ2≥χα/22(n−1)，则拒绝原假设 H 0 H_0 H0；
• 否则接受原假设 H 0 H_0 H0；

两个正态总体的情形

设已给定显著水平 α \alpha α， ( X 1 , . . . , X n 1 ) T (X_1,...,X_{n_1})^T (X1,...,Xn1)T， ( Y 1 , . . . , Y n 2 ) T (Y_1,...,Y_{n_2})^T (Y1,...,Yn2)T 分别为来自正态总体 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X \sim N(\mu_1,\sigma^2_1) X∼N(μ1,σ12) 和 Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y \sim N(\mu_2,\sigma^2_2) Y∼N(μ2,σ22) 的样本，且假定两样本相互独立。记 X ˉ , Y ˉ \bar{X},\bar{Y} Xˉ,Yˉ 为两样本各自的样本均值， S 1 n 1 ∗ 2 , S 2 n 2 ∗ 2 S^{*2}{1n_1},S^{*2}{2n_2} S1n1∗2,S2n2∗2 为两样本各自的修正方差。

两总体均值差的检验------ t t t 检验

欲检验假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = c ↔ H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ c H_0:\mu_1-\mu_2=c \leftrightarrow H_1:\mu_1-\mu_2 \neq c H0:μ1−μ2=c↔H1:μ1−μ2=c 只讨论 σ 1 2 \sigma^2_1 σ12 和 σ 2 2 \sigma^2_2 σ22 未知且相等的情形，并记 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma^2_1=\sigma^2_2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2。

选取 T = X ˉ − Y ˉ − c S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-c}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2) T=Swn11+n21 Xˉ−Yˉ−c∼t(n1+n2−2) 作为检验统计量，其中 S w = ( n 1 − 1 ) S 1 n 1 ∗ 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 n 2 ∗ 2 n 1 + n 2 − 2 S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S^{*2}{1n_1}+(n_2-1)S^{*2}{2n_2}}{n_1+n_2-2}} Sw=n1+n2−2(n1−1)S1n1∗2+(n2−1)S2n2∗2 由于 X ˉ − Y ˉ \bar{X}-\bar{Y} Xˉ−Yˉ 是 μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2 的无偏估计，当 H 0 H_0 H0 成立时， X ˉ − Y ˉ \bar{X}-\bar{Y} Xˉ−Yˉ 应当与 c c c 靠近，即 ∣ T ∣ |T| ∣T∣ 过分偏大将不利于 H 0 H_0 H0，因此 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { ∣ T ∣ ≥ k } W=\{|T| \ge k\} W={∣T∣≥k} 的形式。对给定的水平 α \alpha α，查 t ( n 1 + n 2 − 2 ) t(n_1+n_2-2) t(n1+n2−2) 分布表，得 k = t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) k=t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) k=tα/2(n1+n2−2)，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域为 W = { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) } W=\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\} W={∣T∣≥tα/2(n1+n2−2)} 由一次抽样所得的样本值 ( x 1 , . . . , x n 1 ) T (x_1,...,x_{n_1})^T (x1,...,xn1)T 和 ( y 1 , . . . , y n 2 ) T (y_1,...,y_{n_2})^T (y1,...,yn2)T 算出 T T T 的观察值 t = x ˉ − y ˉ − c s w 1 n 1 + 1 n 2 t=\frac{\bar{x}-\bar{y}-c}{s_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} t=swn11+n21 xˉ−yˉ−c，

• 若 ∣ t ∣ ≥ t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) |t| \ge t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) ∣t∣≥tα/2(n1+n2−2)，则拒绝 H 0 H_0 H0；
• 否则，接受 H 0 H_0 H0。

关于均值差的假设检验，比较常见的是 c = 0 c=0 c=0 的情形，此时假设等价于 H 0 : μ 1 = μ 2 ↔ H 1 : μ 1 ≠ μ 2 H_0:\mu_1=\mu_2 \leftrightarrow H_1:\mu_1\neq \mu_2 H0:μ1=μ2↔H1:μ1=μ2

两总体方差比的检验------ F F F 检验

欲检验假设 H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = c ↔ H 1 : σ 1 2 / σ 2 2 ≠ c H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=c \leftrightarrow H_1:\sigma_1^2/\sigma_2^2 \neq c H0:σ12/σ22=c↔H1:σ12/σ22=c 下面只讨论 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1,μ2 未知的情形。

选取 F = S 1 n 1 ∗ 2 c S 2 n 2 ∗ 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F=\frac{S_{1n_1}^{*2}}{cS_{2n_2}^{*2}} \sim F(n_1-1,n_2-1) F=cS2n2∗2S1n1∗2∼F(n1−1,n2−1) 作为检验统计量。由于 E ( F ) = n 2 n 2 − 2 E(F)=\frac{n_2}{n_2-2} E(F)=n2−2n2，因而当 H 0 H_0 H0 成立时， F F F 的取值应集中在 n 2 / ( n 2 − 2 ) n_2/(n_2-2) n2/(n2−2) 附近，即 F F F 过分偏小或过分偏大将不利于 H 0 H_0 H0，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域应取 W = { F ≤ k 1 ⋃ F ≥ k 2 } W=\{F \le k_1 \bigcup F \ge k_2\} W={F≤k1⋃F≥k2} 的形式。对给定的水平 α \alpha α，查 F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n1−1,n2−1) 分布表，得 k 1 = F 1 − α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , k 2 = F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) k_1=F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1),k_2=F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) k1=F1−α/2(n1−1,n2−1),k2=Fα/2(n1−1,n2−1)，故 H 0 H_0 H0 的拒绝域为 W = { F ≤ F 1 − α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⋃ F ≥ F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) } W=\{F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) \bigcup F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\} W={F≤F1−α/2(n1−1,n2−1)⋃F≥Fα/2(n1−1,n2−1)} 由一次抽样所得的样本值 ( x 1 , . . . , x n 1 ) T (x_1,...,x_{n_1})^T (x1,...,xn1)T 和 ( y 1 , . . . , y n 2 ) T (y_1,...,y_{n_2})^T (y1,...,yn2)T 算出 F F F 的观察值 F = s 1 n 1 ∗ 2 c s 2 n 2 ∗ 2 F=\frac{s_{1n_1}^{*2}}{cs_{2n_2}^{*2}} F=cs2n2∗2s1n1∗2，

• 若 F ≤ F 1 − α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) F≤F1−α/2(n1−1,n2−1) 或 F ≥ F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) F≥Fα/2(n1−1,n2−1)，则拒绝 H 0 H_0 H0；
• 否则，接受 H 0 H_0 H0。

关于两总体方差比的检验，比较常见的是 c = 1 c=1 c=1 的情形，此时，假设等价于 H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 ↔ H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2 H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2 \leftrightarrow H_1:\sigma_1^2\neq \sigma_2^2 H0:σ12=σ22↔H1:σ12=σ22

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。