MATLAB初学者入门（11）—— 贪心算法

贪心算法是一种简单直观的算法设计方法，常用于解决需要做出一系列选择以达到最优解的问题。贪心算法的核心思想是每一步都选择当前看起来最好的选项，而不考虑大局。这种方法通常易于实现，但不总是能得到全局最优解。下面，将详细介绍如何在MATLAB中实现贪心算法。

案例分析：分数背包问题

假设你是一个小偷，打算抢劫一个商店。你有一个可以承载限定重量的背包，商店里有多种物品，每种物品都有其重量和价值，你可以拿走整个物品或者物品的一部分。目标是在不超过背包承重的情况下，最大化背包中物品的总价值。

步骤 1: 定义物品和背包

首先定义各个物品的重量和价值，以及背包的最大承重。

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weights = [10, 20, 30];  % 各物品的重量
values = [60, 100, 120];  % 各物品的价值
capacity = 50;  % 背包的最大承重

步骤 2: 计算价格与重量的比率

为了应用贪心策略，我们需要计算每个物品单位重量的价值（即价值与重量的比率），并按此比率降序排序物品。

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% 计算单位重量的价值并排序
[valuePerWeight, indices] = sort(values ./ weights, 'descend');
sortedWeights = weights(indices);
sortedValues = values(indices);

步骤 3: 贪心算法选择物品

遍历排序后的物品列表，尽可能多地取每种物品，直到背包装不下为止。

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totalValue = 0;
remainingCapacity = capacity;

for i = 1:length(sortedWeights)
    if remainingCapacity == 0
        break;
    end
    if sortedWeights(i) <= remainingCapacity
        % 如果当前物品可以完全装入背包
        totalValue = totalValue + sortedValues(i);
        remainingCapacity = remainingCapacity - sortedWeights(i);
    else
        % 如果当前物品只能装入一部分
        totalValue = totalValue + valuePerWeight(i) * remainingCapacity;
        break;
    end
end

步骤 4: 输出结果

显示背包中物品的总价值。

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disp(['Total value in the knapsack: ', num2str(totalValue)]);

案例分析：最小生成树的贪心算法------Kruskal算法

Kruskal算法是解决最小生成树问题的一种贪心算法。该算法按照边的权重（成本）顺序，从最小的开始选择，只要这条边不会与已选择的边形成环。

步骤 1: 定义图

首先定义图的节点和边，以及每条边的权重。

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% 示例数据 - 每个元素表示一条边和其两个节点和权重
edges = [1 2 7; 1 3 5; 2 3 9; 2 4 8; 2 5 7; 3 4 15; 3 5 6; 4 5 8; 4 6 9; 5 6 11];
% 边由其两个端点和权重组成

步骤 2: 对边按权重排序

为了应用贪心策略，我们需要按边的权重升序排序。

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% 按权重排序边
[sortedEdges, index] = sortrows(edges, 3);

步骤 3: 使用Kruskal算法构建最小生成树

使用并查集数据结构来检测环。

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% 初始化并查集
numNodes = max(max(edges(:,1:2)));  % 获取节点数
parent = 1:numNodes;

% 查找根节点函数
function p = find(parent, i)
    while parent(i) ~= i
        i = parent(i);
    end
    p = i;
end

% 并查集合并函数
function parent = union(parent, x, y)
    rootX = find(parent, x);
    rootY = find(parent, y);
    if rootX ~= rootY
        parent(rootY) = rootX;
    end
end

% Kruskal主算法
mst = [];  % 存储MST中的边
for i = 1:size(sortedEdges, 1)
    if find(parent, sortedEdges(i, 1)) ~= find(parent, sortedEdges(i, 2))
        mst = [mst; sortedEdges(i, :)];  % 添加边到MST
        parent = union(parent, sortedEdges(i, 1), sortedEdges(i, 2));
    end
end

步骤 4: 输出最小生成树和总成本

显示构建的最小生成树和其总权重。

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disp('Edges in the Minimum Spanning Tree:');
disp(mst);
totalCost = sum(mst(:,3));
disp(['Total cost of the Minimum Spanning Tree: ', num2str(totalCost)]);

案例分析：活动选择问题

假设你有多个活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间。任务是选择最大集合的相互兼容活动（即它们不重叠）。这是一个典型的贪心算法应用场景，通常通过选择结束时间最早的活动来实现。

步骤 1: 定义活动

首先定义一组活动及其开始和结束时间。

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% 示例数据：每行一个活动，第一列为开始时间，第二列为结束时间
activities = [
    1, 4;
    3, 5;
    0, 6;
    5, 7;
    3, 9;
    5, 9;
    6, 10;
    8, 11;
    8, 12;
    2, 14;
    12, 16;
];

% 对活动按结束时间排序
sortedActivities = sortrows(activities, 2);

步骤 2: 应用贪心策略选择活动

选择结束时间最早的活动，然后选择下一个与已选择活动不冲突的结束时间最早的活动。

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% 选择活动
selectedActivities = [];
lastEndTime = -inf;

for i = 1:size(sortedActivities, 1)
    if sortedActivities(i, 1) >= lastEndTime
        selectedActivities = [selectedActivities; sortedActivities(i, :)];
        lastEndTime = sortedActivities(i, 2);
    end
end

步骤 3: 输出结果

展示选定的活动以及总数。

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disp('Selected activities (start time, end time):');
disp(selectedActivities);
disp(['Total number of selected activities: ', num2str(size(selectedActivities, 1))]);

结论

（1）在这个分数背包问题的例子中，贪心算法提供了一种有效的方法来快速求解，并通常能得到非常接近最优解的结果。此案例显示了贪心算法在解决优化问题中的实用性，特别是当问题允许采取"分数解"时，贪心策略特别有效。

贪心算法虽然简单且易于实现，但它有时可能不会提供一个全局最优解，特别是在要求得到全局最优解的问题中。因此，在应用贪心算法时，需要仔细考虑问题的特性和对解的要求。在一些问题中，可能还需要与其他算法（如动态规划或回溯算法）结合使用，以达到更好的效果。

（2）通过此案例，Kruskal算法成功解决了最小生成树问题，展示了贪心算法在网络设计和优化中的实用性。此算法不仅适用于电信或计算机网络的设计，还广泛应用于其他需要高效连接多个点的场景，如交通规划、供电网络等。Kruskal算法以其简单和高效的特点，在工程和科学计算中非常有用。此外，MATLAB提供的矩阵和数组操作功能使得实现此类算法变得直接和高效。

（3）在这个活动选择问题中，我们利用贪心算法成功地选择了最大数量的互不冲突的活动。此案例表明贪心算法在解决调度和规划问题中的高效性，特别是在需要做出一系列优化选择时。贪心策略通常简单易实现，且在许多情况下可以提供最优或接近最优的解决方案。此外，由于算法的直观性和效率，它广泛应用于实时系统和其他需要快速决策的应用中。

此类贪心算法不仅适用于会议或活动安排，也可以扩展到资源分配、工作调度等其他领域，为这些领域中的优化问题提供了有效的解决策略。通过探索和实施这些策略，可以优化决策过程，提高系统的整体效率和效果。