题意分析
有一个 n n n 个点， n − 1 n-1 n−1 条边的无向图，边权均为 1 1 1。
每个点隶属于一个集合，同一个集合的点可以互相传送。
给定 m m m 个询问，求 x , y x, y x,y 的最短距离。
最短路解法
步骤：
- 建图。
- 对于所有询问各跑一次最短路算法。
可选用的最短路算法：
- Spfa，单次时间复杂度 O ( n ) ∼ O ( n 2 ) O(n) \sim O(n^2) O(n)∼O(n2)，总时间复杂度 O ( n 2 ) ∼ O ( n 3 ) O(n^2) \sim O(n^3) O(n2)∼O(n3)。
- Dijkstra，单词时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)，总时间复杂度 O ( n 2 log n ) O(n^2\log n) O(n2logn)。
01 BFS 解法
观察发现，本题仅存在边权为 0 0 0 和 1 1 1 的边，故上述最短路算法存在多余开销，我们考虑使用 BFS 算法进行求解，并使用 deque 进行维护。
进行扩展时，若是边权为 0 0 0 的边，则放入队头，反之放入队尾。
最坏时，每条边均扩展 n n n 个点，单次时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，总时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。
BFS 解法
样例如下：
我们用虚线表示同一个组别中的连线。
合并 1 , 4 1, 4 1,4：
合并 2 , 6 2, 6 2,6：
合并 3 , 5 3, 5 3,5：
那么，在合并之后，当我们要算两个点之间的最短距离时，可以直接用 BFS 算法解决。
观察上图发现，因为组别内的点的边权为 0 0 0，所以我们可以将所有同一个组别的点进行合并，将点于点之间的最短路转换为组别于组别之间的最短路。
单词时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，总时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 10, M = N * 4;
int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int belong[N];
vector<int> g[N];
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
void bfs(int u, int v)
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
memset(st, 0, sizeof st);
dist[u] = 0;
queue<int> q;
q.push(u);
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i] )
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
q.push(j);
}
}
}
cout << dist[v] << endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= n; ++ i )
{
int x;
cin >> x;
belong[i] = x;
g[x].push_back(i);
}
for (int i = 1; i < n; ++ i )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
a = belong[a], b = belong[b];
add(a, b, 1), add(b, a, 1);
}
while (m -- )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
bfs(belong[a], belong[b]);
}
return 0;
}