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三角函数的周期性
本节的主题是研究三角函数的周期性，我们之前已经解析地定义三角函数为
cos x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , sin x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! \cos{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\sin{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k,sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1
设函数
F : R → R 2 , x ↦ F ( x ) = ( sin x cos x ) F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,x\mapsto F(x)=\begin{pmatrix} \sin{x}\\\cos{x}\\ \end{pmatrix} F:R→R2,x↦F(x)=(sinxcosx)
记 S ( x ) = sin x , C ( x ) = cos x S(x)=\sin{x},C(x)=\cos{x} S(x)=sinx,C(x)=cosx
记矩阵 J = ( 0 1 − 1 0 ) J=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} J=(0−110)，则容易发现 F F F 满足如下的微分方程
{ F ′ = J F f ∣ x = 0 = ( 0 1 ) \begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧F′=JFf∣x=0=(01)
命题：微分方程解的存在唯一性
设 f ∈ C 0 a , b f\in C^0a,b f∈C0a,b 且 f f f 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微，若 f ′ ( x ) ≡ 0 f'(x)\equiv 0 f′(x)≡0 且 f ( a ) = c f(a)=c f(a)=c，则 f ( x ) ≡ c f(x)\equiv c f(x)≡c，或等价地说，如下的常微分方程
{ f ′ ( x ) = 0 f ∣ x = a = c \begin{cases} f'(x)=0\\ f|_{x=a}=c\\ \end{cases} {f′(x)=0f∣x=a=c 存在唯一的解
证明 （Lagrange中值定理）
反证法，若存在某个 x 1 ∈ ( a , b ) x_1\in (a,b) x1∈(a,b) 使得 f ( x 1 ) ≠ c f(x_1)\neq c f(x1)=c，则在 a , x 1 a,x_1 a,x1 上使用 Lagrange中值定理，存在 x 0 ∈ ( a , x 1 ) x_0\in(a,x_1) x0∈(a,x1)，使得
f ′ ( x 0 ) = f ( x 1 ) − c x 1 − a ≠ 0 f'(x_0)=\frac{f(x_1)-c}{x_1-a}\neq 0 f′(x0)=x1−af(x1)−c=0矛盾
命题
S ( x ) S(x) S(x) 和 C ( x ) C(x) C(x) 是周期函数
证明
首先由 C ′ ( x ) = − S ( x ) C'(x)=-S(x) C′(x)=−S(x) 可证 0 0 0 是 C ( x ) C(x) C(x) 的一个极大值点;
第二，说明存在一个 A > 0 A>0 A>0，使得在 0 , A 0,A 0,A 上， C ( x ) C(x) C(x) 单调递减且 C ( A ) = 0 C(A)=0 C(A)=0
要说明 A A A 的存在性，只需说明 A ≠ + ∞ A\neq +\infty A=+∞，用反证法，由 C ( x ) > 0 C(x)>0 C(x)>0 得 S ( x ) S(x) S(x) 严格单调递增，又对 x ≥ δ x\geq \delta x≥δ
S ( x ) ≥ S ( δ ) ⇔ ( C ( x ) + s x ) ′ < 0 S(x)\geq S(\delta)\Leftrightarrow (C(x)+sx)'<0 S(x)≥S(δ)⇔(C(x)+sx)′<0 从而
C ( δ ) + s δ ≥ C ( x ) + s x > s x C(\delta)+s\delta\geq C(x)+sx>sx C(δ)+sδ≥C(x)+sx>sx这显然不可能
第三，重复以上说明，可证存在 B > 0 B>0 B>0，使得在 A , A + B A,A+B A,A+B 上， S ( x ) S(x) S(x) 单调递减且 S ( A + B ) = 0 S(A+B)=0 S(A+B)=0
第四，定义 π = A + B \pi =A+B π=A+B，发现 ( − S ( x + π ) − C ( x + π ) ) \begin{pmatrix} -S(x+\pi)\\-C(x+\pi)\\ \end{pmatrix} (−S(x+π)−C(x+π)) 和 ( S ( x ) C ( x ) ) \begin{pmatrix} S(x)\\C(x)\\ \end{pmatrix} (S(x)C(x)) 均为常微分方程的解
{ F ′ = J F f ∣ x = 0 = ( 0 1 ) \begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧F′=JFf∣x=0=(01)
由解的唯一性，得到 S ( x ) = − S ( x + π ) S(x)=-S(x+\pi) S(x)=−S(x+π)，从而 S ( x ) = S ( x + 2 π ) S(x)=S(x+2\pi) S(x)=S(x+2π)， 2 π 2\pi 2π 即为 S ( x ) S(x) S(x) 的周期
又因为 S ( x ) S(x) S(x) 在 ( 0 , π ) (0,\pi) (0,π) 上为正，在 ( π , 2 π ) (\pi,2\pi) (π,2π) 上为负，则 2 π 2\pi 2π 是 S ( x ) S(x) S(x) 的最小周期
类似地， 2 π 2\pi 2π 也是 C ( x ) C(x) C(x) 的最小周期
注：该证明也给出了 π \pi π 的另一种定义
参考书：
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著