第九章动态规划——不同的搜索二叉树

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[力扣题号:96. 不同的二叉搜索树 - 力扣(LeetCode)](#力扣题号:96. 不同的二叉搜索树 - 力扣(LeetCode))

题目描述

[示例 1:](#示例 1:)

[示例 2:](#示例 2:)

提示:

思路

什么是二叉搜索树

发现规律

当n为1和n为2时

当输入的n为3时

[如果是以 1 为头节点](#如果是以 1 为头节点)

如果是以2为头节点

如果是以3为头节点

发现

动态规划五部曲

(1)dp数组的下标及其含义

(2)确定递推公式

(3)初始化递推数组

(4)确定遍历顺序

(5)根据题意推出dp数组对照

动态规划代码实现

代码实现(卡塔兰数)

卡塔兰数

卡塔兰数代码实现

总结


力扣题号:96. 不同的二叉搜索树 - 力扣(LeetCode)

注:下述题目描述和示例均来自力扣

题目描述

给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1:

复制代码
输入:n = 3
输出:5

示例 2:

复制代码
输入:n = 1
输出:1

提示:

  • 1 <= n <= 19

思路

如果我们通过观察就可以发现以下的规律。

在讲述这个规律之前,我们先说一下什么是二叉搜索树

什么是二叉搜索树

二叉搜索树(Binary Search Tree),也称为二叉搜索树、有序二叉树(ordered binary tree)或排序二叉树(sorted binary tree),是指一棵空树或者具有以下性质的二叉树:

  1. 如果它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
  2. 如果它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值;
  3. 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树的特性使得它在查找、插入、删除操作中表现出良好的效率,这些操作在平均和最好的情况下,时间复杂度可以达到 O(log n)。因此,二叉搜索树被广泛用作高效查找结构。

发现规律

我们假设我们的二叉搜索树的有三个节点,分别是 1,2,3, 当然了,这里只是为了清楚的解释这个问题,你这里的节点是1000,20000,30000000,都可以,只要是不一样大就行了。

我们这里设树节点的数量为n,

当n为1和n为2时

我们二叉搜索树的类型有如下图所示:

当输入的n为3时

如果是以 1 为头节点

那么右子树的分布肯定就和n为2时的分布就是一样的了。如下图所示:

如果是以2为头节点

那么左右子树的分布就都和n为1的情况相似了,如下图所示:

如果是以3为头节点

那么左子树的布局和n为2的情况仍然一致,如下图所示:

发现

其实n为3这个情况的每一种情况好像都可以由n为1和n为2,这两种情况都推出来。那么这层关系该如何的利用起来呢。

那如果头节点为1的时候,情况就是,左子树0节点×右子树2节点

那如果头节点为2的时候,情况就是,左子树1节点×右子树1节点

那如果头节点为3的时候,情况就是,左子树2节点×右子树0节点

根据上面的推导,那么我们这里的dp[3]与dp[2],dp[1],dp[0]的关系就如下公式:

amazing~~~ 酱紫就可以动态规划了

动态规划五部曲

(1)dp数组的下标及其含义

这里我们是要求解当节点数是n的时候的,不同的二叉搜索树的数量,因此我们这里的

,就是n=i时候的二叉搜索树的种类数量。

(2)确定递推公式

我们再来思考一下,这是一个搜索二叉树对吧,我们的dp[i]是由以1为头结点的情况,以2为头结点的情况,以3为头结点的情况一起求出来的。

如果我的头结点现在是 j ,那么左子树就有j - 1 个节点,因为这是二叉搜索树,那么右子树就有 i - j个节点。

那么根据刚才的结论我们也可以得出这样的递推公式如下(当有i个节点,头结点是j的时候):

(3)初始化递推数组

根据上面的推导,我们的递推数组推到n为3的时候就可以了,如下所示:

(4)确定遍历顺序

那肯定是从小了往大遍历了。这还说啥了

(5)根据题意推出dp数组对照

当n=10的时候如下所示:

[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796]

动态规划代码实现

java 复制代码
import java.util.Arrays;

public class text {

	public static void main(String[] args) {
		int res = numTrees(10);
		System.out.println(res);
	}

    public static int numTrees(int n) {
        // 如果是3以及一下的数,直接输出
        if(n <= 3){
            if(n == 1){
                return 1;
            }else if(n == 2){
                return 2;
            }else{
                return 5;
            }
        }
        
        // new 出dp数组
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 初始化dp数组
        // 这里一定要把dp[0]初始化为1,这是很重要的
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        dp[3]=5;

        for(int i = 4;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        // 打印一下dp数组的值,也可以不打印,这里只是为了方便理解。
        System.out.println(Arrays.toString(dp));

        return dp[n];

    }
}

这样之后直接打败了全世界的人。


代码实现(卡塔兰数)

在看了力扣的题解之后发现这其实还是一个数学方法。然后我就查了一查资料。

卡塔兰数

卡塔兰数是一种数学序列,在组合数学中经常出现,并以比利时数学家欧仁·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)得名。

卡塔兰数序列的公式为:

它出现在各种计数问题中,例如:

  1. 计算有效的括号匹配序列数量
  2. 计算在笛卡尔平面上从(0, 0)到(n, n)的路径数量,且路径不越过y=x线
  3. 计算具有n+1个叶子节点的满二叉树数量,等等。

例如,前几个卡塔兰数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, ...

实际上,我们这个问题是卡塔兰数的一个典型应用。对于含有n个节点的二叉搜索树(BST),种类的数量是第n个卡塔兰数。

该问题可以被视为一个计数问题:在每个节点数上,我们都要计算所有合法的二叉搜索树。对于某个给定的节点数n,我们可以将每个数i (0 <= i < n)都试一遍作为根节点,然后递归地计算作为左子树的i个节点和作为右子树的n-i-1个节点可以形成的所有合法BST的数量。之后把它们相乘即可。

所以,根据它的公式我们可以直接得出答案了。

卡塔兰数代码实现

java 复制代码
class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int C = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            C = C*2*(2*i+1)/(i+2);
        }
        return C;
    }
}

好好好 ,你敢写成这样是吧,你完啦

直接被制裁,那就用long

java 复制代码
class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        long C = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            C = C*2*(2*i+1)/(i+2);
        }
        return (int)C;
    }
}

这也没啥提升啊,废了,我最爱的数学方法


总结

看似我们在学习动态规划的题目,但是一不小心又学习了一个数学知识,真的是a。

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